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Utiliser la formule de l'énergie potentielle de pesanteur

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Objectifs

Connaitre la définition d’une force conservative.
Connaitre et savoir utiliser l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur.

Points clés

L’énergie potentielle de pesanteur est notée E_pp et s’exprime par E_pp = m × g × z.
Une force est conservative lorsque le travail d’une force entre deux points donnés est indépendant du chemin suivi.
La variation d’énergie potentielle associée au poids , entre deux points A et B, est égale à l’opposé du travail de ce poids sur le système : .

Pour bien comprendre

Force
Travail d’une force
Énergie

1. Le travail d'une force conservative

a. Mises en situation

Déplacement rectiligne d’un système

Un système de masse m évolue dans le champ de pesanteur . Le système est déplacé d’un point A à un point B, d’altitudes respectives z_A et z_B.

Dans un premier temps, le déplacement entre les deux points est rectiligne.

Schéma de la situation

On applique alors la formule du travail pour estimer le travail du poids :
.

Explication
Le travail du poids

s’exprime par

.
Dans le triangle rectangle AHB,

avec AH = z_A − z_B.
Ainsi, AB × cos(α) = AH = z_A − z_B.
On a donc

Déplacement non rectiligne d’un système

On considère maintenant que le déplacement n’est plus rectiligne mais segmenté en deux parties entre les points de départ A et d’arrivée C.

Schéma de la situation

Dans la configuration décrite par le schéma ci-dessus, la trajectoire est composée de deux segments de droites.

Le travail est une grandeur additive, on décompose donc le travail du poids entre A et C de la manière suivante :

b. Conclusion

Le résultat précédent est généralisable : toute trajectoire du système peut être vue comme une infinité de déplacements possibles, ce qui mène au même résultat.

Chemins C₁ et C₂ pris pour aller
d’un point A à un point B

En conclusion, pour utiliser la relation , il est inutile de connaitre le chemin suivi du système pour aller de A à B.

Quand le travail d’une force entre deux points donnés est indépendant du chemin suivi, on dit que la force est conservative.

Exemple
Le poids est une force conservative.

Remarque
Lorsque le travail d’une force entre deux points donnés dépend du chemin suivi, on dit que la force est non conservative.

2. L'énergie potentielle de pesanteur

a. L'énergie potentielle de pesanteur - Mise en situation

L’énergie potentielle associée au poids est appelée « énergie potentielle de pesanteur ».

L’énergie potentielle de pesanteur E_pp est l’énergie que possède un système du fait de sa position par rapport à la Terre.

La valeur de l’énergie potentielle de pesanteur est égale au produit de la masse m du système, de l’intensité de la pesanteur g et de l’altitude z du centre de gravité G de ce système.

E_pp = m × g × z

avec :

E_pp l’énergie potentielle de pesanteur du système, en joule (J)
m la masse du système, en kilogramme (kg)
g l’intensité de la pesanteur, en newton par kilogramme (N·kg⁻¹)
z l’altitude du système, en mètre (m)

Remarques

L’altitude z est donnée par rapport à une origine qu’il faut préciser. On choisit la plus commode. On a ainsi E_pp = 0 pour z = 0 (point de référence choisi).
Un système possède une énergie potentielle uniquement s’il est soumis à des forces conservatives car l’énergie potentielle ne dépend que des altitudes finales et initiales, et non du chemin suivi.

b. Lien entre travail et énergie potentielle de pesanteur - Mise en situation

On lâche une balle d’un point A à un point B. Cette balle n’est soumise qu’à son poids , qui est une force conservative (son travail ne dépend pas des positions de départ et d’arrivée).

Schéma de la situation

On calcule le travail du poids entre A et B.

avec α l’angle entre et . Or et sont colinéaires et de même sens, donc α = 0° et cos(α) = 1.

On a donc :

Le travail fourni par la force conservative pour déplacer la balle du point A vers le point B peut s’exprimer en fonction de m × g × z, qui représente l’énergie potentielle de pesanteur.

avec

avec :

le travail du poids appliqué sur le système, en joule (J)
la variation d’énergie potentielle de pesanteur du système entre les points A et B, en joule (J)
m la masse du système, en kilogramme (kg)
g l’intensité de la pesanteur, en newton par kilogramme (N·kg⁻¹)
z l’altitude du système, en mètre (m)

c. La variation d'énergie potentielle de pesanteur

La variation d’énergie potentielle de pesanteur

d’un système entre A et B est le travail à fournir pour compenser le poids lors du changement d’altitude par rapport à la Terre.
La variation d’énergie potentielle de pesanteur associée au poids P est donc égale à l’opposé du travail de cette force sur le système.