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Utiliser les relations de conjugaison et de grandissement pour des calculs

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Objectif

Exploiter les relations de conjugaison et de grandissement fournies pour déterminer la position et la taille de l’image d’un objet-plan réel.

Points clés
  •  est la position algébrique du point A par rapport au centre optique O. Si A est placé avant O, alors  < 0.
  • La relation de conjonction de Descartes s’écrit  (distances en mètre).
  • La relation de grandissement s’écrit  ( et  en mètre, γ sans unité).
Pour bien comprendre
  • Lentilles convergentes
  • Théorème de Thalès
  • Foyer et distance focale
  • Grandissement

L’image d’un objet peut être floue, éloignée, grande, inversée, etc., selon la position de l’observateur par rapport à la lentille.

Ces différentes positions obéissent à plusieurs règles :

  • la relation de conjugaison, établie par Descartes, qui permet de déterminer la position de l’image ;
  • la relation du grandissement.

Quels renseignements nous donnent ces relations ?

1. L'image d'un objet situé avant le plan focal objet

On considère une lentille convergente de centre optique O et caractérisée par son foyer objet F et son foyer image F'.

La grandeur , notée aussi f', est appelée distance focale de la lentille.
Remarque
Pour une lentille convergente, .

Lorsqu’un objet AB est éloigné d’une lentille convergente, il existe une position unique pour laquelle son image A'B' apparaitra nette, mais inversée, sur un écran.


Représentation de l’image A'B' d’un objet AB
2. La relation de conjugaison de Descartes
a. Orientation de l'axe optique

L’axe optique principal est orienté dans le sens de propagation de la lumière (en général de la gauche vers la droite).

La position de l’objet AB sur l’axe optique principal est notée A et celle de l’image A'B' est notée A'. Ces deux positions sont déterminées respectivement par les valeurs algébriques  et .


Position de l’objet AB et de l’image A'B'

L’objet AB se trouvant avant le centre optique O,  est négatif. Au contraire, l’image se situant après O,  est positif.

b. Formule de conjugaison

La formule de conjugaison de Descartes permet de relier trois grandeurs.

 

avec :
  •  la distance qui sépare l’image du centre optique O, en mètre (m)
  •  la distance qui sépare l’objet du centre optique O, en mètre (m)
  •  la distance focale qui sépare le foyer image F' du centre optique O, en mètre (m)
Exemple
Un objet AB est situé à 5,0 m devant une lentille convergente de distance focale f' de 80 cm. Quelle sera la position  de l’image A'B' de AB ?

Attention aux unités : la conjugaison de Descartes doit être exprimée en mètre.

Position de l’objet AB
On liste les données de l’énoncé :
  •  = −5,0 m (cette valeur est négative car A est en arrière de la lentille) ;
  •  = 80 cm = 0,80 m.

En appliquant la relation de conjugaison , telle que 
On obtient  m−1, d’où  m, soit  = 0,95 m = 95 cm.

L’image se trouve donc à 95 cm de la lentille.

3. La relation de grandissement
Le grandissement γ est le rapport des tailles de l’objet AB et de son image A'B'.

 

avec :
  • γ la valeur absolue (il s’agit de la valeur positive) du grandissement, sans unité
  •  la taille de l’objet, en mètre (m)
  •  la taille de l’image, en mètre (m)
Remarque
Le grandissement γ est sans unité, les grandeurs  et  doivent être exprimées dans la même unité (cm, m, etc.).

On peut lier le grandissement γ aux positions   et  de l’objet et de son image.

Si on applique la relation de Thalès : .

  • Si  est positif, alors le grandissement γ est positif : l’image est droite (c’est-à-dire dans le même sens que l’objet).
  • Si  est négatif, alors le grandissement γ est négatif : l’image est inversée par rapport à l’objet.
Exemple
Un objet AB de 3 cm est placé devant une lentille convergente. Son image A'B' mesure 2 cm. Calculer le grandissement.

On liste les données de l’énoncé :
  •  = 3 cm ;
  •  = −2 cm (cette valeur est négative car l’image A'B' pointe vers le bas).

En appliquant la relation du grandissement , on obtient .

L’image A'B' est inversée par rapport à l’objet AB.

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