Étudier l'évolution des énergies d'un système - Maxicours

Étudier l'évolution des énergies d'un système

Objectif

Utiliser un logiciel de traitement d’images pour étudier l’évolution des énergies cinétique, potentielle et mécanique d’un système dans le cas de la chute d’un corps.

Points clés
  • Le mouvement de chute libre de la balle se traduit par une conversion d’énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique.
  • L’énergie mécanique est conservée.
Pour bien comprendre
  • Énergies cinétique, potentielle et mécanique
  • Travail d’une force
  • Vitesse, chronophotographie

On souhaite étudier l’évolution des énergies d‘un système. On va pour cela étudier la chute libre d’une balle.

1. Montage expérimental et traitement des données
a. Le montage expérimental

On étudie la chute libre d’une balle de masse m = 40,0 g, lâchée sans vitesse initiale, et évoluant dans le champ de pesanteur considéré comme uniforme. L’intensité de pesanteur est g = 9,81 N·kg−1.

On dispose pour cela verticalement une règle qui va nous servir de repère. On lâche la balle à l’extrémité de l’axe de la règle et on enregistre le mouvement de la balle grâce à une webcam réglée pour prendre 50 images par seconde.


Schéma du montage
b. Le traitement des données

Les images capturées sont traitées par informatique. Cela génère la chronophotographie ci-dessous, où 11 points numérotés sont représentés, de M0 (position initiale) à M10.


Chronophotographie de la balle
2. L'étude des résultats

On souhaite étudier l’évolution des énergies de ce système. On va pour cela analyser cette chronophotographie selon la méthode suivante.

Étape 1 – Mesurer la distance pour chaque point.

Grâce aux graduations de la règle, on établit la distance parcourue D de la balle, selon un axe vertical dirigé vers le haut dont l’origine est la position initiale M0 pour zinitial = 20,0 cm.

La webcam prend 50 images par seconde : entre deux images successives, il s’écoule une durée constante  = 0,02 s.

Point Distance D (cm)
M0 20,0
M1 19,8
M2 19,2
M3 18,2
M4 16,9
M5 15,1
M6 12,8
M7 10,4
M8 7,2
M9 4,0
M10 0,0
Position des différents points de la balle
Étape 2 – Calculer la vitesse de la balle pour chaque point.

La vitesse moyenne d’une balle se déplaçant en ligne droite entre un point A et B est donnée par la relation suivante.

avec :
  • D la distance entre les points A et B, en mètre (m) 
  • Δt = tB − tA la durée pour aller du point A au point B, en seconde (s)

En conséquence, la vitesse vi de la balle au point Mi est estimée par la formule approchée suivante.

avec :
  • Di la distance parcourue par la balle au point Mi, en mètre (m)
  • τ la durée entre deux points successifs de la balle, en seconde (s)
Exemple
La vitesse au point M5 est 

v5 = 1,0 m·s−1.
Remarques
  • On prend la valeur absolue car la vitesse doit toujours être positive.
  • La vitesse v0 est nulle car la balle est lancée sans vitesse initiale.
  • La vitesse v10  n’est pas calculable avec cette chronophotographie.
Étape 3 – Calculer l’énergie cinétique pour chaque point.

À partir de la vitesse de la balle, on calcule son énergie cinétique en utilisant la relation suivante.

avec :
  • Ec la valeur de l’énergie cinétique de la balle, en joule (J) 
  • m la masse de la balle, en kilogramme (kg) 
  • v la vitesse de la balle, en mètre par seconde (m·s1)
Exemple
Pour le point M5, l’énergie cinétique de la balle est :

 = 21 × 10−2 J.
Étape 4 – Calculer l’énergie potentielle de pesanteur pour chaque point.

La balle est soumise à son poids  donc elle dérive d’une énergie potentielle de pesanteur Epp.

Pour la déterminer, il faut au préalable choisir l’origine des potentiels, c’est-à-dire fixer l’altitude pour laquelle Epp sera prise comme nulle.

On choisit cette origine au bas de la règle, lorsque la balle a atteint l’altitude z = 0 m (sa position initiale étant zinitial = 0,20 m).


Schéma de la règle

À partir de la position z, on peut calculer l’énergie potentielle de pesanteur de la balle grâce à la relation suivante.

Epp = m × g × z

avec :
  • Epp l’énergie potentielle de pesanteur de la balle, en joule (J) 
  • m la masse de la balle, en kilogramme (kg) 
  • g l’intensité de la pesanteur, en newton par kilogramme (N·kg−1
  • z l’altitude de la balle, en mètre (m)

Puisque notre repère est orienté vers le haut, l’énergie potentielle au point Mi est donnée par  = m × g × zi avec zi l’altitude du point Mi.

Exemple
L’énergie potentielle de pesanteur en M5, avec z5 =15,1 × 10−2 m, vaut :
 = m × g × z5 = 40 × 10−3 × 9,81 × 15,1 × 10−2
 = 59 × 10−2 J.
Étape 5 – Calculer l’énergie mécanique pour chaque point.

Pour chaque point, on est maintenant en mesure de calculer l’énergie mécanique grâce à la relation suivante.

Em = Ec + Epp

avec :
  • Em l’énergie mécanique de la balle, en joule (J)
  • Ec l’énergie cinétique de la balle, en joule (J)
  • Epp les énergies potentielles de pesanteur de la balle, en joule (J)
Exemple
L’énergie mécanique en M5 est égale à : 
 = 21 × 10−2 + 59 × 10−2
 = 80 × 10−2 J.
Étape 6 – Établir le tableau récapitulatif.

Pour chaque point, on procède aux calculs précédents.

On regroupe ensuite tous les résultats dans le tableau ci-dessous.

Étape 7 – Tracer l’évolution des énergies sur un graphique.

On trace l’évolution de l’énergie cinétique, de l’énergie potentielle et de l’énergie mécanique de la balle, en fonction du temps.

On obtient le graphique ci-dessous.


Représentation des énergies de la balle en fonction du temps
Étape 8 – Conclure.

La chute de cette balle donne les résultats suivants.

  • Son énergie potentielle Epp diminue car cette balle se rapproche du sol.
  • Sa vitesse augmente, donc son énergie cinétique Ec augmente également.
  • Lorsque l’énergie potentielle Epp diminue, l’énergie cinétique Ec augmente : l’énergie est donc transférée d’une forme à une autre.
  • L’énergie mécanique Em est bien la somme des énergies cinétique Ec et potentielle Epp : Em = Ec + Epp.
  • L’énergie mécanique Em est constante au cours du temps. Les quelques fluctuations observées sont explicables par les incertitudes de mesure des positions.

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