Étudier l'évolution des énergies d'un système

On souhaite étudier l’évolution des énergies de ce système. On va pour cela analyser cette chronophotographie selon la méthode suivante.

Grâce aux graduations de la règle, on établit la distance parcourue D de la balle, selon un axe vertical dirigé vers le haut dont l’origine est la position initiale M0 pour zinitial = 20,0 cm. La webcam prend 50 images par seconde : entre deux images successives, il s’écoule une durée constante  = 0,02 s.

Point Distance D (cm) M0 20,0 M1 19,8 M2 19,2 M3 18,2 M4 16,9 M5 15,1 M6 12,8 M7 10,4 M8 7,2 M9 4,0 M10 0,0 Position des différents points de la balle

La vitesse moyenne d’une balle se déplaçant en ligne droite entre un point A et B est donnée par la relation suivante.

avec : D la distance entre les points A et B, en mètre (m)  Δt = tB − tA la durée pour aller du point A au point B, en seconde (s)

En conséquence, la vitesse v_i de la balle au point M_i est estimée par la formule approchée suivante.

avec : Di la distance parcourue par la balle au point Mi, en mètre (m) τ la durée entre deux points successifs de la balle, en seconde (s)

À partir de la vitesse de la balle, on calcule son énergie cinétique en utilisant la relation suivante.

avec : Ec la valeur de l’énergie cinétique de la balle, en joule (J)  m la masse de la balle, en kilogramme (kg)  v la vitesse de la balle, en mètre par seconde (m·s−1)

La balle est soumise à son poids  donc elle dérive d’une énergie potentielle de pesanteur E_pp.

Pour la déterminer, il faut au préalable choisir l’origine des potentiels, c’est-à-dire fixer l’altitude pour laquelle E_pp sera prise comme nulle.

On choisit cette origine au bas de la règle, lorsque la balle a atteint l’altitude z = 0 m (sa position initiale étant z_initial = 0,20 m).

À partir de la position z, on peut calculer l’énergie potentielle de pesanteur de la balle grâce à la relation suivante.

Epp = m × g × z

avec : Epp l’énergie potentielle de pesanteur de la balle, en joule (J)  m la masse de la balle, en kilogramme (kg)  g l’intensité de la pesanteur, en newton par kilogramme (N·kg−1)  z l’altitude de la balle, en mètre (m)

Puisque notre repère est orienté vers le haut, l’énergie potentielle au point M_i est donnée par  = m × g × z_i avec z_i l’altitude du point M_i.

Pour chaque point, on est maintenant en mesure de calculer l’énergie mécanique grâce à la relation suivante.

Em = Ec + Epp

avec : Em l’énergie mécanique de la balle, en joule (J) Ec l’énergie cinétique de la balle, en joule (J) Epp les énergies potentielles de pesanteur de la balle, en joule (J)

Pour chaque point, on procède aux calculs précédents.

On regroupe ensuite tous les résultats dans le tableau ci-dessous.

On trace l’évolution de l’énergie cinétique, de l’énergie potentielle et de l’énergie mécanique de la balle, en fonction du temps.

On obtient le graphique ci-dessous.

La chute de cette balle donne les résultats suivants.

• Son énergie potentielle E_pp diminue car cette balle se rapproche du sol.
• Sa vitesse augmente, donc son énergie cinétique E_c augmente également.
• Lorsque l’énergie potentielle E_pp diminue, l’énergie cinétique E_c augmente : l’énergie est donc transférée d’une forme à une autre.
• L’énergie mécanique E_m est bien la somme des énergies cinétique E_c et potentielle E_pp : E_m = E_c + E_pp.
• L’énergie mécanique E_m est constante au cours du temps. Les quelques fluctuations observées sont explicables par les incertitudes de mesure des positions.