Calculer le travail d'une force non conservative

Le travail d'une force constante  appliquée à un système, lors d’un déplacement entre les points A et B, est défini par la relation suivante.

avec : le travail de la force  appliquée au système sur la distance AB, en joule (J) la force, en newton (N) AB la distance en mètre (m) α l’angle entre la force  et le vecteur déplacement , en degré (°) ou en radian (rad)

Schéma de la situation

Une force est conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi lors d’un déplacement entre les points A et B, c'est-à-dire si on a la relation suivante.

avec : le travail de la force  entre les points A et B, par le chemin C1, en joule (J) le travail de la force  entre les points A et B, par le chemin C2, en joule (J)

Chemins C₁ et C₂ pris pour aller
d’un point A à un point B

Les forces de frottement sont des forces non conservatives : le travail d’une force de frottement dépend du chemin suivi.

On distingue deux types de frottement :

• les forces de frottement solide (solide/solide) ;
  
  Exemples 
  Un solide en mouvement sur la glace, ou sur un plan incliné.
• les forces de frottement fluide (solide/fluide).
  
  Exemples
  Un solide en mouvement dans l’air, ou dans l’eau.

La valeur d’une force de frottement dépend de :

• la nature (rugosité) et de l’aire de la surface de contact entre le système et le milieu extérieur ;
• la forme du système ;
• la viscosité et/ou la masse volumique du fluide ;
• la vitesse du fluide par rapport au système (ou de la vitesse du système par rapport au fluide).

Par la suite, on considérera que la valeur de la force de frottement  est constante.

On considère un solide de masse m qui se déplace sur une portion rectiligne AB inclinée d'un angle θ par rapport à l'horizontale, puis sur une portion BC horizontale.

Le système est soumis à son poids , à la réaction du support  et à une force de frottement supposée constante .

On souhaite calculer le travail de la force de frottement  sur le trajet C₁ qui est composé des portions AB et BC.

Schéma de la situation

Le travail de la force de frottement sur le trajet C₁ est égal à la somme du travail des deux portions AB et BC :

•  car l'angle entre la force de frottement  et le déplacement  est de 180°, donc.
•  car l'angle entre la force de frottement  et le déplacement  est de 180°, donc.

Le travail de la force  sur le trajet total C₁ est donné par la relation suivante.

Voici les caractéristiques de la force  et du travail de cette force.

• Quelle que soit l’inclinaison du système par rapport à l’horizontal, le travail d'une force de frottement  est constante sur un trajet AB et vaut .
  Les frottements  sont en effet toujours opposés au mouvement.
• Le travail de la force de frottement est toujours négatif.
• Le travail de la force  sur un trajet qui passe par les points A, B puis C est .

On souhaite calculer le travail de la force de frottement  sur le trajet C₂ puis comparer les deux valeurs du travail sur les deux trajets C₁ et C₂.

Schéma de la situation

Le travail de la force de frottement  sur le trajet C₂ composé de la portion AC est :
 car l'angle entre la force de frottement  et le déplacement  est de 180°.

Or on a obtenu pour le trajet C₁ : .
On vient donc de montrer que  car AB + BC ≠ AC.

On peut conclure que le travail de la force de frottement dépend bien du chemin suivi, la force est bien non conservative.