Exploiter la conservation de l'énergie mécanique - Maxicours

Exploiter la conservation de l'énergie mécanique

Objectifs
  • Savoir dans quel cas l’énergie mécanique se conserve.
  • Connaitre la formule de la variation de l’énergie mécanique dans le cas où le système est soumis à des forces non conservatives.
Points clés
  • L’énergie mécanique Em d’un système est la somme de son énergie cinétique Ec et de ses énergies potentielles Ep.
  • Lors d’un déplacement entre un point A et un point B :
    • Em est conservé si le système est soumis à des forces conservatives () ;
    • Em n’est pas conservé si le système est soumis à des forces non conservatives ().
Pour bien comprendre
  • Énergie cinétique, énergie potentielle
  • Force et travail d'une force
1. L'énergie mécanique
a. Définition

Soit un système de masse m, dans un référentiel supposé galiléen.

Par définition, son énergie mécanique Em est la somme de son énergie cinétique Ec et de ses énergies potentielles Ep.
Em = Ec + Ep avec :
  • Em l’énergie mécanique, en joule (J)
  • Ec l’énergie cinétique, en joule (J)
  • Ep les énergies potentielles, en joule (J)  

L’expression de l’énergie cinétique est la suivante.

avec :
  • Ec l'énergie cinétique du système, en joule (J)
  • m la masse du système, en kilogramme (kg)
  • v la vitesse du système, en mètre par seconde (m·s1)

L’expression de l’énergie potentielle Ep dépend des forces appliquées. Lorsque le système évolue en changeant d’altitude, il possède une énergie potentielle de pesanteur Epp.

Ep = Epp = m × g × z avec :
  • Epp l’énergie potentielle de pesanteur du système, en joule (J)
  • m la masse du système, en kilogramme (kg)
  • g l’intensité de la pesanteur, en newton par kilogramme (gTerre = 9,81 N·kg1)
  • z l’altitude du système, en mètre (m)
Remarque
Il y a deux forces qui dérivent d’une énergie potentielle : le poids  et la force électrique . Dans le cas où il n’y a pas de force électrique appliquée sur le système, seul le poids est pris en compte pour calculer l’énergie potentielle.
b. Force conservative

Une force est conservative si son travail sur un déplacement [AB] ne dépend pas du chemin suivi.
Lorsque la force  est conservative, on a un travail identique de cette force pour les deux chemins possibles C1 et C2.

avec :
  • le travail de la force  entre les points A et B, par le chemin C1, en joule (J)
  • le travail de la force  entre les points A et B, par le chemin C2, en joule (J)

Chemins C1 et C2 pris pour aller
d’un point A à un point B
Remarque
À l’inverse, une force non conservative est une force dont le travail dépend du chemin suivi.
Exemples
Le poids  est une force conservative.
La force de frottement  est une force non conservative car la valeur de cette force va dépendre du chemin suivi.
2. Conservation et non conservation de l'énergie mécanique

Lors du mouvement d’un système entre un point A et un point B, la conservation de l’énergie mécanique Em de ce système va dépendre des forces appliquées au système.

a. Le système n'est soumis qu'à des forces conservatives
Si le système n’est soumis qu’à des forces conservatives, alors l’énergie mécanique Em se conserve, c’est-à-dire qu’elle reste constante au cours du temps.

Les variations de Ec et Ep se compensent ainsi au cours du temps.

Il y a donc des transferts d’énergie entre Ep et Ec au cours du déplacement du système entre les points A et B.

Exemple – L’oscillation d’un pendule simple sans frottements
On remarque que :
  • l’énergie mécanique Em est bien la somme des énergies cinétiques Ec et potentielles Ep ;
  • l’énergie mécanique est constante au cours du temps ;
  • lorsque l’énergie potentielle Ep diminue, l’énergie cinétique Ec augmente : l’énergie est donc transférée d’une forme à une autre.
b. Le système est soumis à des forces non conservatives
Si le système est soumis à des forces non conservatives, alors l’énergie mécanique Em du système ne se conserve pas, c’est-à-dire qu’elle varie au cours du temps.

La variation d’énergie mécanique  du système correspond alors à la somme du travail de chaque force non conservative .

Remarque
Si le travail de ces forces est négatif, alors  : l’énergie mécanique diminue au cours du temps. Elle est progressivement dissipée sous forme de chaleur.
Exemple – L’oscillation d’un pendule simple avec frottements
On remarque que :
  • l’énergie mécanique Em est bien la somme des énergies cinétiques Ec et potentielles Ep ;
  • l’énergie mécanique décroit au cours du temps, elle n’est pas constante ;
  • lorsque l’énergie potentielle Ep diminue, l’énergie cinétique Ec augmente : l’énergie est donc transférée d’une forme à une autre ;
  • les courbes représentatives des énergies montrent bien que le système effectue des oscillations au cours du temps.
3. Résoudre un problème en utilisant l'énergie mécanique

On étudie un système qui se déplace d’un point A à un point B.

a. Méthode de résolution de problème

Pour résoudre un problème en utilisant l’énergie mécanique, il faut respecter les étapes suivantes.

Étape 1 : Réaliser le bilan des forces.

On présente le système, on fait le bilan des forces appliquées au système puis on les représente sur un schéma.

Étape 2 : Calculer Em(A).

On calcule les énergies cinétiques et potentielles du système étudié au point A : Ec(A) et Ep(A) à l’état initial.

On en déduit l’énergie mécanique au point A : Em(A) = Ec(A) + Ep(A).

Étape 3 : Calculer Em(B).

On calcule les énergies cinétiques et potentielles du système étudié au point B : Ec(B) et Ep(B) à l’état initial.

On en déduit l’énergie mécanique au point B : Em(B) = Ec(B) + Ep(B).

Étape 4 : Identifier s’il y a conservation ou non de Em et appliquer la relation qui convient
  • Cas de la conservation de Em : on applique la relation et on en déduit l’inconnue du système.
  • Cas de la non conservation de Em : on applique la relation pour en déduire le travail des forces non conservatives .
b. Exemple 1 - Cas où il y a conservation de l'énergie mécanique

Un corps de masse m est lancé en A avec une vitesse . Durant son mouvement, il n’est soumis qu’à son poids , les frottements étant négligés : c’est le cas de la chute libre sans frottements.

On travaille dans le référentiel terrestre, qui est galiléen pour des temps courts.
On cherche à déterminer la vitesse vB du corps quand il arrive au point B. On choisit l’altitude de B comme origine des altitudes. L’altitude de A est égale à h.


Schéma de la situation
Étape 1 : Réaliser le bilan des forces.

Le système est le corps de masse m. Il n’est soumis qu’à son poids P.

Étape 2 : Calculer Em(A).

On calcule l’énergie mécanique du corps en A : Em(A) = Ec(A) + Ep(A).

La seule énergie potentielle à prendre en compte est l’énergie potentielle de pesanteur Epp car ce corps est soumis à son poids.

On a donc Em(A) = Ec(A) + Epp(A) =  × m × vA2 + m × g × zA,
d'où Em(A) =  × m × V02 + m × g × h.

Étape 3 : Calculer Em(B).

On calcule l’énergie mécanique du corps en B :
Em(B) = Ec(B) + Epp(B) =  × m × vB2 + m × g × zB.
Puisque zB = 0, on a Em(B) =  × m × vB2.

Étape 4 : Identifier s’il y a conservation ou non de Em et appliquer la relation qui convient.

Il n’y a pas de forces non conservatives agissant sur le corps, donc son énergie mécanique est conservée.
Em(A) = Em(B), soit  × m × V02 + m × g × h =  × m × vB2,
donc V02 + 2 × g × h = vB2, d'où .

c. Exemple 2 - Cas où il y n'y a pas conservation de l'énergie mécanique

On reprend l’exemple précédent mais cette fois-ci la masse est soumise à des forces de frottements dues à l’air .

Étape 4 : Identifier s’il y a conservation ou non de Em et appliquer la relation qui convient.

L’énergie mécanique ne se conserve pas.

On applique la relation pour en déduire le travail des forces non conservatives.

On a donc .
D’où .

Remarque
On ne tient pas compte de la force du poids dans le calcul du travail des forces non conservatives car le poids est une force conservative.

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