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Exploiter la conservation de l'énergie mécanique

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Objectifs

Savoir dans quel cas l’énergie mécanique se conserve.
Connaitre la formule de la variation de l’énergie mécanique dans le cas où le système est soumis à des forces non conservatives.

Points clés

L’énergie mécanique E_m d’un système est la somme de son énergie cinétique E_c et de ses énergies potentielles E_p.
Lors d’un déplacement entre un point A et un point B :
- E_m est conservé si le système est soumis à des forces conservatives () ;
- E_m n’est pas conservé si le système est soumis à des forces non conservatives ().

Pour bien comprendre

Énergie cinétique, énergie potentielle
Force et travail d'une force

1. L'énergie mécanique

a. Définition

Soit un système de masse m, dans un référentiel supposé galiléen.

Par définition, son énergie mécanique E_m est la somme de son énergie cinétique E_c et de ses énergies potentielles E_p.

E_m = E_c + E_p

avec :

E_m l’énergie mécanique, en joule (J)
E_c l’énergie cinétique, en joule (J)
E_p les énergies potentielles, en joule (J)

L’expression de l’énergie cinétique est la suivante.

avec :

E_c l'énergie cinétique du système, en joule (J)
m la masse du système, en kilogramme (kg)
v la vitesse du système, en mètre par seconde (m·s^–¹)

L’expression de l’énergie potentielle E_p dépend des forces appliquées. Lorsque le système évolue en changeant d’altitude, il possède une énergie potentielle de pesanteur E_pp.

E_p = E_pp = m × g × z

avec :

E_pp l’énergie potentielle de pesanteur du système, en joule (J)
m la masse du système, en kilogramme (kg)
g l’intensité de la pesanteur, en newton par kilogramme (g_Terre = 9,81 N·kg^–¹)
z l’altitude du système, en mètre (m)

Remarque
Il y a deux forces qui dérivent d’une énergie potentielle : le poids

et la force électrique

. Dans le cas où il n’y a pas de force électrique appliquée sur le système, seul le poids est pris en compte pour calculer l’énergie potentielle.

b. Force conservative

Une force est conservative si son travail sur un déplacement [AB] ne dépend pas du chemin suivi.
Lorsque la force est conservative, on a un travail identique de cette force pour les deux chemins possibles C₁ et C₂.

avec :

le travail de la force entre les points A et B, par le chemin C₁, en joule (J)
le travail de la force entre les points A et B, par le chemin C₂, en joule (J)

Chemins C₁ et C₂ pris pour aller
d’un point A à un point B

Remarque
À l’inverse, une force non conservative est une force dont le travail dépend du chemin suivi.

Exemples
Le poids

est une force conservative.
La force de frottement

est une force non conservative car la valeur de cette force va dépendre du chemin suivi.

2. Conservation et non conservation de l'énergie mécanique

Lors du mouvement d’un système entre un point A et un point B, la conservation de l’énergie mécanique E_m de ce système va dépendre des forces appliquées au système.

a. Le système n'est soumis qu'à des forces conservatives

Si le système n’est soumis qu’à des forces conservatives, alors l’énergie mécanique E_m se conserve, c’est-à-dire qu’elle reste constante au cours du temps.

Les variations de E_c et E_p se compensent ainsi au cours du temps.

Il y a donc des transferts d’énergie entre E_p et E_c au cours du déplacement du système entre les points A et B.

Exemple – L’oscillation d’un pendule simple sans frottements

On remarque que :

l’énergie mécanique E_m est bien la somme des énergies cinétiques E_c et potentielles E_p ;
l’énergie mécanique est constante au cours du temps ;
lorsque l’énergie potentielle E_p diminue, l’énergie cinétique E_c augmente : l’énergie est donc transférée d’une forme à une autre.

b. Le système est soumis à des forces non conservatives

Si le système est soumis à des forces non conservatives, alors l’énergie mécanique E_m du système ne se conserve pas, c’est-à-dire qu’elle varie au cours du temps.

La variation d’énergie mécanique du système correspond alors à la somme du travail de chaque force non conservative .

Remarque
Si le travail de ces forces est négatif, alors

: l’énergie mécanique diminue au cours du temps. Elle est progressivement dissipée sous forme de chaleur.

Exemple – L’oscillation d’un pendule simple avec frottements

On remarque que :

l’énergie mécanique E_m est bien la somme des énergies cinétiques E_c et potentielles E_p ;
l’énergie mécanique décroit au cours du temps, elle n’est pas constante ;
lorsque l’énergie potentielle E_p diminue, l’énergie cinétique E_c augmente : l’énergie est donc transférée d’une forme à une autre ;
les courbes représentatives des énergies montrent bien que le système effectue des oscillations au cours du temps.

3. Résoudre un problème en utilisant l'énergie mécanique

On étudie un système qui se déplace d’un point A à un point B.

a. Méthode de résolution de problème

Pour résoudre un problème en utilisant l’énergie mécanique, il faut respecter les étapes suivantes.

Étape 1 : Réaliser le bilan des forces.

On présente le système, on fait le bilan des forces appliquées au système puis on les représente sur un schéma.

Étape 2 : Calculer E_m(A).

On calcule les énergies cinétiques et potentielles du système étudié au point A : E_c(A) et E_p(A) à l’état initial.

On en déduit l’énergie mécanique au point A : E_m(A) = E_c(A) + E_p(A).

Étape 3 : Calculer E_m(B).

On calcule les énergies cinétiques et potentielles du système étudié au point B : E_c(B) et E_p(B) à l’état initial.

On en déduit l’énergie mécanique au point B : E_m(B) = E_c(B) + E_p(B).

Étape 4 : Identifier s’il y a conservation ou non de E_m et appliquer la relation qui convient

Cas de la conservation de E_m : on applique la relation et on en déduit l’inconnue du système.
Cas de la non conservation de E_m : on applique la relation pour en déduire le travail des forces non conservatives .

b. Exemple 1 - Cas où il y a conservation de l'énergie mécanique

Un corps de masse m est lancé en A avec une vitesse . Durant son mouvement, il n’est soumis qu’à son poids , les frottements étant négligés : c’est le cas de la chute libre sans frottements.

On travaille dans le référentiel terrestre, qui est galiléen pour des temps courts.
On cherche à déterminer la vitesse v_B du corps quand il arrive au point B. On choisit l’altitude de B comme origine des altitudes. L’altitude de A est égale à h.

Schéma de la situation

Étape 1 : Réaliser le bilan des forces.

Le système est le corps de masse m. Il n’est soumis qu’à son poids P.

Étape 2 : Calculer E_m(A).

On calcule l’énergie mécanique du corps en A : E_m(A) = E_c(A) + E_p(A).

La seule énergie potentielle à prendre en compte est l’énergie potentielle de pesanteur E_pp car ce corps est soumis à son poids.

On a donc E_m(A) = E_c(A) + E_pp(A) = × m × v_A² + m × g × z_A,
d'où E_m(A) = × m × V₀² + m × g × h.

Étape 3 : Calculer E_m(B).

On calcule l’énergie mécanique du corps en B :
E_m(B) = E_c(B) + E_pp(B) = × m × v_B² + m × g × z_B.
Puisque z_B = 0, on a E_m(B) = × m × v_B².

Étape 4 : Identifier s’il y a conservation ou non de E_m et appliquer la relation qui convient.

Il n’y a pas de forces non conservatives agissant sur le corps, donc son énergie mécanique est conservée.
E_m(A) = E_m(B), soit × m × V₀² + m × g × h = × m × v_B²,
donc V₀² + 2 × g × h = v_B², d'où .