Utiliser la deuxième loi de Newton - Maxicours

Utiliser la deuxième loi de Newton

Objectifs
  • Justifier qualitativement la position du centre de masse d’un système, cette position étant donnée.
  • Utiliser la deuxième loi de Newton dans des situations variées pour en déduire : 
    • le vecteur accélération du centre de masse, les forces appliquées au système étant connues ;
    • la somme des forces appliquées au système, le mouvement du centre de masse étant connu.
Points clés
  • L’étude du mouvement d’un système se fait par rapport à un référentiel galiléen adéquatement choisi. Dans un tel référentiel, la première loi de Newton (ou principe d’inertie) est vérifiée.
  • Pour un système, on choisit le centre de masse pour étudier le mouvement car c’est celui qui a le mouvement le plus simple et celui pour lequel le principe d’inertie s’applique toujours.
  • La deuxième loi de Newton, applicable uniquement dans un référentiel galiléen, indique que .
  • A partir de la connaissance du vecteur accélération , la deuxième loi de Newton permet de trouver la résultante des forces extérieures  appliquées au système, et inversement la connaissance de cette résultante des forces permet de trouver le vecteur accélération.
Pour bien comprendre

La première loi de Newton (ou principe d’inertie)

1. La deuxième loi de Newton

L’étude du mouvement d’un système se fait en définissant le référentiel d’étude, puis en appliquant la deuxième loi de Newton.

Cette loi permet de déterminer le vecteur accélération à partir de la connaissance des forces exercées sur le système, puis ensuite, par intégrations successives, de trouver le vecteur vitesse et le vecteur position.

a. Le référentiel galiléen

On définit un référentiel d’étude (qui est un solide de référence) par rapport auquel on étudie le système.

En fonction du système en mouvement étudié, un référentiel est plus adapté.

Système étudié Planète, comètes Lune, satellites Avion, train
Référentiel d’étude Héliocentrique Géocentrique Terrestre
Le référentiel d’étude doit être galiléen, ce qui signifie que la première loi de Newton (ou principe d’inertie) doit s’y appliquer.
Rappel – La première loi de Newton (aussi nommée principe d’inertie)
  • Un objet immobile soumis à des forces qui se compensent () reste immobile.
  • Un objet soumis à des forces qui se compensent et possédant une vitesse , garde sa vitesse  constante au cours de son mouvement : celui-ci est rectiligne et uniforme.
b. Le centre de masse
Le centre de masse G d’un système est le point d’un système dont le mouvement est plus simple que ceux des autres points du système.

Trajectoire du centre de masse G d’un système

Le centre de masse est le point d’un système en mouvement pour lequel la première loi de Newton (ou principe d’inertie) est toujours applicable.

c. Expression de la deuxième loi de Newton

En classe de première, la relation suivante a été établie.

avec :
  •  la variation du vecteur vitesse  d’un point matériel pendant
    une durée 
  • m la masse du point matériel
  •  la résultante des forces appliquées sur le système
Remarque
La résultante des forces  est égale à la somme vectorielle de toutes les forces appliquées sur le système.

On fait tendre la durée  vers zéro. Le rapport de la variation du vecteur vitesse  sur la durée  tend alors vers la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.

On sait que par définition, cette dérivée temporelle du vecteur vitesse est égale à l’accélération du système.

On considère maintenant le centre de masse G d’un système de masse m, auquel on affecte toute la masse du système et sur lequel on affecte toutes les forces appliquées sur le système.

Dans un référentiel galiléen, le centre de masse G vérifie la deuxième loi de Newton.

On constate que le vecteur accélération  et la résultante des forces  sont colinéaires et de même sens.

Cette expression peut s’écrire en utilisant les valeurs de chaque vecteur (appelées aussi normes en mathématique).

avec :
  • m la masse du système, en kg
  •  la valeur de l’accélération du système, en m·s2
    ( peut aussi s’écrire )
  •  la valeur de la résultante des forces appliquées au système, en newton (N)
2. L'application de la deuxième loi de Newton
La deuxième loi de Newton permet de déterminer le vecteur accélération  à partir de la résultante des forces , ou inversement de trouver la résultante des forces à partir du vecteur accélération.
a. Étude d'un mouvement rectiligne

On considère un système en chute libre à proximité de la surface de la Terre, c’est-à-dire qu’il est uniquement soumis à son propre poids.

On étudie le mouvement de son centre de masse G auquel on affecte toute la masse m du système. L’étude se fait dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

La résultante des forces se limite au poids du système.

Le vecteur correspond au vecteur intensité de la pesanteur terrestre (g  9,8 m·s2).


Chute libre d’un système

On applique la deuxième loi de Newton dans le référentiel terrestre.

Le vecteur accélération  est égal au vecteur intensité de la pesanteur : il est vertical, dirigé vers le bas et sa valeur est constante.

 = 9,8 m·s2

Le mouvement du système en chute libre est uniformément accéléré car le vecteur accélération reste constant tout au long du mouvement.
b. Étude d'un mouvement circulaire

On considère le centre de masse G d’un système de masse m, dont le mouvement est circulaire et uniforme dans le référentiel terrestre supposé galiléen.


Mouvement circulaire et uniforme de G
Déterminer les caractéristiques de 

Le vecteur accélération  est radial (dirigé selon les rayons du cercle), pointé vers le centre de la trajectoire, et sa valeur est constante.

On applique la deuxième loi de Newton dans le référentiel terrestre.

La résultante des forces  appliquées au système est donc elle aussi radiale, dirigée vers le centre de la trajectoire et a une valeur constante.

On peut exprimer la valeur de cette résultante des forces :

Cette valeur est constante car aG est constant.

Déterminer la relation entre  et v

On peut également trouver une relation entre la valeur de la résultante des forces  et la valeur de la vitesse v.

On exprime le vecteur accélération dans le repère  de Frenet.

Comme le mouvement est uniforme et circulaire, on a , donc :

On applique ensuite la deuxième loi de Newton.

On en déduit une autre expression de la valeur de la résultante des forces.

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