Utiliser la deuxième loi de Newton
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- Justifier qualitativement la position du centre de masse d’un système, cette position étant donnée.
- Utiliser la deuxième loi de Newton dans des
situations variées pour en
déduire :
- le vecteur accélération du centre de masse, les forces appliquées au système étant connues ;
- la somme des forces appliquées au système, le mouvement du centre de masse étant connu.
- L’étude du mouvement d’un système se fait par rapport à un référentiel galiléen adéquatement choisi. Dans un tel référentiel, la première loi de Newton (ou principe d’inertie) est vérifiée.
- Pour un système, on choisit le centre de masse pour étudier le mouvement car c’est celui qui a le mouvement le plus simple et celui pour lequel le principe d’inertie s’applique toujours.
- La deuxième loi de Newton, applicable uniquement dans un référentiel galiléen, indique que .
- A partir de la connaissance du vecteur accélération , la deuxième loi de Newton permet de trouver la résultante des forces extérieures appliquées au système, et inversement la connaissance de cette résultante des forces permet de trouver le vecteur accélération.
La première loi de Newton (ou principe d’inertie)
L’étude du mouvement d’un système se fait en définissant le référentiel d’étude, puis en appliquant la deuxième loi de Newton.
Cette loi permet de déterminer le vecteur accélération à partir de la connaissance des forces exercées sur le système, puis ensuite, par intégrations successives, de trouver le vecteur vitesse et le vecteur position.
On définit un référentiel d’étude (qui est un solide de référence) par rapport auquel on étudie le système.
En fonction du système en mouvement étudié, un référentiel est plus adapté.
Système étudié | Planète, comètes | Lune, satellites | Avion, train |
Référentiel d’étude | Héliocentrique | Géocentrique | Terrestre |
- Un objet immobile soumis à des forces qui se compensent () reste immobile.
- Un objet soumis à des forces qui se compensent et possédant une vitesse , garde sa vitesse constante au cours de son mouvement : celui-ci est rectiligne et uniforme.
Trajectoire du centre de masse G d’un système
Le centre de masse est le point d’un système en mouvement pour lequel la première loi de Newton (ou principe d’inertie) est toujours applicable.
En classe de première, la relation suivante a été établie.
avec :
|
La résultante des forces est égale à la somme vectorielle de toutes les forces appliquées sur le système.
On fait tendre la durée vers zéro. Le rapport de la variation du vecteur vitesse sur la durée tend alors vers la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.
On sait que par définition, cette dérivée temporelle du vecteur vitesse est égale à l’accélération du système.
On considère maintenant le centre de masse G d’un système de masse m, auquel on affecte toute la masse du système et sur lequel on affecte toutes les forces appliquées sur le système.
On constate que le vecteur accélération et la résultante des forces sont colinéaires et de même sens.
Cette expression peut s’écrire en utilisant les valeurs de chaque vecteur (appelées aussi normes en mathématique).
avec :
|
On considère un système en chute libre à proximité de la surface de la Terre, c’est-à-dire qu’il est uniquement soumis à son propre poids.
On étudie le mouvement de son centre de masse G auquel on affecte toute la masse m du système. L’étude se fait dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
La résultante des forces se limite au poids du système.
Le vecteur correspond au vecteur intensité de la pesanteur terrestre (g ≈ 9,8 m·s–2).
Chute libre d’un système
On applique la deuxième loi de Newton dans le référentiel terrestre.
Le vecteur accélération est égal au vecteur intensité de la pesanteur : il est vertical, dirigé vers le bas et sa valeur est constante.
= 9,8 m·s–2
On considère le centre de masse G d’un système de masse m, dont le mouvement est circulaire et uniforme dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Mouvement circulaire et uniforme de G
Le vecteur accélération est radial (dirigé selon les rayons du cercle), pointé vers le centre de la trajectoire, et sa valeur est constante.
On applique la deuxième loi de Newton dans le référentiel terrestre.
La résultante des forces appliquées au système est donc elle aussi radiale, dirigée vers le centre de la trajectoire et a une valeur constante.
On peut exprimer la valeur de cette résultante des forces :
Cette valeur est constante car aG est constant.
On peut également trouver une relation entre la valeur de la résultante des forces et la valeur de la vitesse v.
On exprime le vecteur accélération dans le repère de Frenet.
Comme le mouvement est uniforme et circulaire, on a , donc :
On applique ensuite la deuxième loi de Newton.
On en déduit une autre expression de la valeur de la résultante des forces.
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