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Exploiter une vidéo - Équations horaires et évolution des énergies

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Objectifs

Utiliser une vidéo pour étudier le mouvement du centre de masse d’un système dans un champ uniforme.

Déterminer les équations horaires de ce système.
Étudier l’évolution des énergies cinétique, potentielle de pesanteur et mécanique de ce système.

Points clés

L’étude du mouvement d’un système se fait par rapport à un référentiel galiléen adéquatement choisi. On choisit le centre de masse pour étudier le mouvement car c’est le point qui a le mouvement le plus simple.
L’enregistrement de la vidéo du mouvement d’un système permet, à l’aide d’un logiciel de pointage, d’analyser et de traiter les données, afin d’obtenir les équations horaires du mouvement (qui correspondent aux coordonnées du vecteur position du centre de masse).
Pour un système en mouvement dans le champ de pesanteur, on distingue deux formes d’énergie :
- l’énergie cinétique associée au mouvement du système (elle est proportionnelle au carré de la vitesse) ;
- l’énergie potentielle de pesanteur associée à la position du système (elle est proportionnelle à la hauteur par rapport au sol, pris comme origine des altitudes).
L’énergie mécanique est égale à la somme des énergies cinétique et potentielle de pesanteur. Pour un système uniquement soumis à son poids, l’énergie mécanique se conserve : elle reste constante au cours du mouvement.

Pour bien comprendre

Vecteur position, équations horaires

1. La détermination des équations horaires

On étudie le mouvement du centre de masse d’un système dans le champ de pesanteur. Le référentiel choisi est le référentiel terrestre supposé galiléen.

On désire trouver les équations horaires du mouvement, qui correspondent aux coordonnées du vecteur position.

a. Exploitation d'une vidéo

On lance depuis le sol un système sur lequel on a repéré la position du centre de masse. Une caméra numérique filme le mouvement du système. On utilise un logiciel d’analyse et de traitement des données afin de visualiser la trajectoire du centre de masse sur l’écran d’un ordinateur.

Protocole de l’enregistrement du mouvement

Remarque
Le mouvement du centre de masse dans un champ uniforme est un mouvement plan. Ce mouvement dans le champ de pesanteur s’inscrit dans un plan vertical, ce qui permet d’utiliser une caméra pour enregistrer ce mouvement.

Le logiciel permet d’obtenir les coordonnées selon l’axe horizontal (Ox) et l’axe vertical (Oy) du centre de masse au cours de son mouvement.

t (s)	0,02	0,04	0,06	0,08	0,10	0,12	0,14
x (en m)	0,028	0,056	0,084	0,112	0,140	0,168	0,196
y (en m)	0,012	0,048	0,066	0,080	0,090	0,096	0,098

t (s)	0,16	0,18	0,20	0,22	0,24	0,26	0,28
x (en m)	0,224	0,252	0,280	0,300	0,336	0,364	0,392
y (en m)	0,096	0,090	0,080	0,066	0,048	0,012	0

À l’aide du même logiciel, on peut trouver les expressions de x et de y en fonction du temps : ce sont les équations horaires du mouvement.

x(t) = 1,4 × t et y(t) = –4,9 × t² + 1,4 × t

b. Détermination des vecteurs vitesse et accélération

Les vecteurs vitesse et accélération sont définis par les relations suivantes.

On peut ainsi, grâce au logiciel, déterminer les coordonnées de chacun de ces vecteurs et les tracer sur la trajectoire.

Vecteurs vitesse et accélération
au cours du mouvement

2. L'étude énergétique

On associe différentes formes d’énergie à un système en mouvement dans un champ de pesanteur uniforme.

a. Les différentes formes d'énergie

L’énergie cinétique

On considère un système de masse m qui se déplace avec une vitesse de valeur égale à v.

L’expression de l’énergie cinétique E_c de ce système est la suivante.

avec :

E_c l’énergie cinétique du système, en joule (J)
m la masse du système, en kg
v la vitesse du système, en m·s^–¹

L’énergie potentielle de pesanteur

On considère un système de masse m qui se trouve à une hauteur h par rapport au sol, lequel est pris comme origine des altitudes (h = 0).

L’expression de l’énergie potentielle de pesanteur E_pp de ce système est la suivante.

E_pp = m × g × h

avec :

E_pp l’énergie potentielle de pesanteur du système, en joule (J)
m la masse du système, en kg
h la hauteur à laquelle se trouve le système, en m
g l’intensité de la pesanteur terrestre, en m·s^–² : g ≈ 9,8 m·s^–2

L’énergie mécanique

L’énergie mécanique d’un système est égale à la somme des énergies cinétique et potentielle.

E_m = E_c + E_pp

avec E_m, E_cet E_pp les énergies, en joule (J)

b. Évolution des énergies au cours du mouvement

Principe

Dans le cas du mouvement du centre de masse d’un système en mouvement dans le champ de pesanteur, on peut utiliser le logiciel de traitement et d’analyse des données pour calculer les énergies cinétique, potentielle de pesanteur et mécanique.

On représente ensuite les courbes des énergies en fonction de x.

Évolution des énergies
au cours du mouvement

Observations et conclusions

On constate que dans la phase ascendante du mouvement, lorsque l’énergie potentielle augmente, l’énergie cinétique diminue : il y a conversion d’énergie cinétique en énergie potentielle de pesanteur.

On constate que dans la phase descendante du mouvement, lorsque l’énergie potentielle diminue, l’énergie cinétique augmente : il y a conversion d’énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique.

L’énergie mécanique est constante tout au long du mouvement : on dit qu’elle se conserve.

Remarques

L’énergie mécanique d’un système soumis uniquement à des forces conservatives est constante.
L’énergie mécanique n’est pas conservée si au moins une force appliquée au système est non conservative. Une partie de l’énergie mécanique est alors convertie en énergie thermique.
Le poids et la force électrique sont des forces conservatives.