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Étudier un mouvement dans un accélérateur de particules

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Objectifs

Établir et exploiter les équations horaires du mouvement d'une particule accélérée entre les armatures d'un condensateur.
Déterminer la vitesse d'une particule à la sortie du condensateur.
Comprendre le principe d'un accélérateur de particules.

Points clés

Le champ électrique qui règne entre deux plaques parallèles, chargées de manière opposée (condensateur), est un champ uniforme : le vecteur associé est le même en tout point.
L’étude du mouvement d’une particule chargée dans ce champ électrique se fait à l’aide de la deuxième loi de Newton. Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre supposé galiléen. La particule de charge q est introduite par une ouverture dans la plaque dont la charge est de même signe, sans vitesse initiale.
L’application de la deuxième loi de Newton permet d’obtenir les équations horaires du mouvement, qui montrent que le mouvement est rectiligne et accéléré. Le théorème de l’énergie cinétique permet de trouver la vitesse de la particule à sa sortie par une ouverture dans l’autre plaque.
Un accélérateur de particules linéaire utilise ce principe pour réaliser des faisceaux de particules chargées à très haute vitesse. On les utilise en recherche dans le domaine de la physique des particules ou en médecine pour réaliser des radiothérapies.

Pour bien comprendre

La deuxième loi de Newton
L’énergie cinétique
Dérivée, primitive

1. L'accélération d'une particule chargée

a. Le champ électrique dans un condensateur

On étudie le mouvement d’une particule chargée de charge q, de masse m négligeable, dans une zone où règne un champ électrique .

Principe du condensateur

Ce champ électrique est créé entre les armatures d’un condensateur. Un condensateur est composé de deux plaques métalliques parallèles qui portent chacune une charge électrique opposée : +Q et –Q.

Schéma d’un condensateur

La valeur E du champ électrique

La valeur E de ce champ électrique est donnée par la relation suivante.

avec :

E la valeur du champ électrique, en volt par mètre (V·m^–¹).
|U| la valeur absolue de la tension électrique entre les deux armatures, en volt (V)
d la distance entre les deux armatures, en mètre (m)

Remarque
Une tension électrique est une grandeur algébrique, c’est-à-dire qu’elle peut être positive ou négative.

La force électrique

exercée

On réalise sur chacune des plaques une ouverture d’entrée et de sortie et on place, sans vitesse initiale, une particule chargée de charge q positive au niveau de l’ouverture réalisée dans la plaque chargée positivement. On définit un repère .

Repère et position initiale de la particule

La force électrique exercée par le champ électrique va attirer cette particule vers la plaque chargée négativement.

avec :

F la valeur de la force électrique, en newton (N)
E la valeur du champ électrique, en volt par mètre (V·m^–¹)
q la charge de la particule, en coulomb (C)

b. Établir et exploiter les équations horaires du mouvement

Afin de déterminer quel type de mouvement va avoir la particule, on détermine les équations horaires du mouvement, qui correspondent aux expressions des coordonnées en fonction du temps. On applique pour cela la deuxième loi de Newton à cette particule ponctuelle dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Les coordonnées du vecteur accélération

La résultante des forces se limite à la force électrique car on peut négliger le poids de la particule (sa masse est négligeable).

Condition initiale :

Deuxième loi de Newton :

Les coordonnées du vecteur vitesse

On cherche les primitives de chaque coordonnée pour obtenir les coordonnées du vecteur vitesse, et on cherche les constantes en appliquant les conditions initiales.

Les coordonnées du vecteur position

On cherche les primitives de chaque coordonnée pour obtenir les coordonnées du vecteur position, et on cherche les constantes en appliquant les conditions initiales.

Conclusion

On constate que le mouvement est rectiligne et se fait selon l’axe (Oy). Ce mouvement est uniformément accéléré car la valeur de l’accélération est constante et positive.

c. Déterminer la vitesse de la particule

Pour calculer la vitesse de la particule à la sortie du condensateur (par l’ouverture dans la plaque chargée négativement), on applique le théorème de l’énergie cinétique entre l’entrée et la sortie de la particule.

Rappel – Travail d’une force

Force appliquée lors d’un déplacement

Le travail d’une force constante sur un trajet AB est égal à .

Pour la particule chargée, on a AB = d, F = q × E et α = 0 soit cos(α) = 1. On obtient .

La vitesse à l’entrée est nulle, le théorème de l’énergie cinétique s’écrit donc de la manière suivante.

Remarque
On peut de même réaliser l’accélération d’une particule chargée négativement en la plaçant dans l’ouverture de la plaque du condensateur chargée négativement.

2. L'accélérateur de particules

Le principe d’un accélérateur de particules

Dans un accélérateur linéaire, les particules chargées sont accélérées à chaque fois qu’elles pénètrent dans un dispositif (qui fonctionne sur le même principe que le condensateur) où règne un champ électrique qui est convenablement dirigé et orienté : le champ électrique a la même direction que la vitesse de la particule et se trouve :

dans le même sens qu’elle si la particule est positive ;
dans le sens opposé si la particule est négative.

Principe d’un accélérateur linéaire

Remarque
La fréquence de la tension alternative appliquée entre deux tubes consécutifs et la longueur des tubes sont telles qu’au passage des particules, le champ électrique permet une accélération de ces particules.

L’utilisation d’un accélérateur de particules

Un accélérateur linéaire de particules est utilisé dans les centres de recherche sur les particules, pour réaliser des collisions entre particules, ou alors comme accélérateur primaire dans les accélérateurs circulaires.

On les utilise également maintenant en médecine pour la radiothérapie : les particules accélérées permettent de détruire de manière localisée les cellules cancéreuses.