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Trinôme du second degré dans l'ensemble des nombres complexes
Objectifs :
- Savoir résoudre une équation du second
degré dans 
- Connaître la factorisation d'un trinôme du second degré à l'aide des racines complexes
- Connaître la factorisation d'un trinôme du second degré à l'aide des racines complexes
1. Résolution dans C d'une équation du
second degré à coefficients réels
a. Cas particulier z² = k
Les solutions de l'équation z² = k sont :
► Si
, alors il existe 2 solutions réelles :
► Si k = 0, il existe une unique solution réelle : z1 = 0
► Si
, il existe 2 solutions imaginaires purs :
Exemple :
► Si
, alors il existe 2 solutions réelles :
► Si k = 0, il existe une unique solution réelle : z1 = 0
► Si
, il existe 2 solutions imaginaires purs :
Exemple :
b. Cas général
Soit l'équation 
où a est un réel non-nul et b, c
des réels.
L'équation
En posant,
, on obtient une équation
du type Z2 = k dont les solutions varient en
fonction du signe de k, c'est-à-dire, du signe de
Δ.
Les cas
sont connus depuis la classe de
première.
Le cas
donne 
où a est un réel non-nul et b, c
des réels.L'équation
En posant,
, on obtient une équation
du type Z2 = k dont les solutions varient en
fonction du signe de k, c'est-à-dire, du signe de
Δ.Les cas
sont connus depuis la classe de
première.Le cas
donne
c. Synthèse
Exemple : résoudre l'équation suivante
Calcul de Δ :
Comme
Donc
2. Le trinôme du second degré
Exemple :
On a vu plus haut que les racines du trinôme P sont :
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