Division euclidienne - Maxicours

Division euclidienne

Objectifs :
Division euclidienne dans - Division euclidienne dans
1. Division euclidienne dans N
Théorème

Quels que soient a et b *, il existe un couple unique d'entiers naturels (q ; r ) tel que :
a = bq + r  et r < b.

L'expression a = bq + r  avec r < b  s'appelle la formule de la division euclidienne, q est le quotient euclidien de a par b et r le reste dans la division euclidienne de a par b.

Exemple : Trouver le quotient euclidien et le reste dans la division euclidienne de 3618 par 278.
On encadre 3618 par deux multiples successifs de 278 : 13 x 278 < 3618 < 14 x 278 donc le quotient euclidien est 13.

On calcule la différence : 3618 - 13 x 278 = 4. Le reste est 4.
On a 3618 = 278 x 13 + 4 et 4 < 278.

Théorème

a est multiple de b, où b divise a, si, et seulement si, le reste dans la division euclidienne de a par b est égal à 0.

Exemple : Le nombre A = (14)! + 1 est-il multiple de 15?
14! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ...... x 12 x 13 x 14 = 3 x 5 x (2 x 6 x 7 x ...... x 12 x 13 x 14) = 15 x qq est un entier naturel.

A = 14! + 1 = 15 x q + 1. Le reste de la division euclidienne de A par 15 est 1, donc A n'est pas multiple de 15.

Remarques

Si b > a alors a = b x 0 + a  donc le quotient est 0 et le reste a.
Si a = b alors a = b x 1 + 0  donc le quotient est 1 et le reste 0.
2. Division euclidienne dans Z
On peut étendre la division euclidienne aux éléments de , le dividende a peut être un entier négatif, le diviseur b est un entier positif.
Quels que soient l'entier relatif a et l'entier naturel b, il existe un couple unique d'entiers (q ; r) tels que :
a = bq + r  et  0 r < b.
Le reste r dans la division euclidienne de a par b est un entier positif.

Exemple :  Dans la division euclidienne de -53 par 5 le quotient est de -11 et le reste est 2.
En effet, 5 x (-11) < -53 < 5 x (-10) donc le quotient euclidien est -11.
Et -53 = 5 x (-11) + 2  et  0 < 2 < 5  donc le reste est 2.

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