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Divisibilité dans Z

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Sommaire :
  • Définir la divisibilité dans Z
  • Connaitre les propriétés de la divisibilité
Points clés
  • "a est un multiple de b" ou "a est divisible par b" ; "b est un diviseur de a" ou "b divise a" s'il existe un entier relatif q tel que .
  • Si a divise b et si b divise c alors a divise c.
  • Si a divise b et si b divise a alors a = b ou a = -b.
  • Si a divise b alors, pour tout entier relatif k, a divise kb.
  • Si a divise b et a divise c alors, pour tout couple (k ; k') d'entiers relatifs, a divise kb + k'c.
1. Définition
a et b sont 2 entiers relatifs avec .
"a est un multiple de b" ou "a est divisible par b" ; "b est un diviseur de a" ou "b divise a" s'il existe un entier relatif q tel que .
Exemples
7 est un diviseur de 91 car 7 x 13 = 91.
384 est un multiple de -12 car 384 = (-12) x (-32).
Remarque : Quel que soit a entier relatif non nul, a divise a et 1 divise a, donc l'ensemble des diviseurs d'un nombre a non nul contient toujours 1 et a.
2. Propriétés
a, b, c sont 3 entiers relatifs non nuls,
• Si a divise b et si b divise c alors a divise c.
• Si a divise b et si b divise a alors a = b ou a = -b.
• Si a divise b alors, pour tout entier relatif k, a divise kb.
• Si a divise b et a divise c alors, pour tout couple (k ; k') d'entiers relatifs, a divise kb + k'c.
Exemple
(m + 1) divise m2 - 1 ; et (m + 1) divise m2 + 2m + 1 = (m + 1)2.
(m + 1) divise donc 3(m2 - 1) - 2(m2 + 2m + 1) = m2 - 4m - 5.

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