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Module, argument, forme trigonométrique

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Objectis :

- Savoir calculer les coordonnées polaires, le module et l'argument
- Différencier les formes trigonométriques des algébriques
- Être capable d'effectuer des opérations avec des nombres complexes

1. Coordonnées polaires

Définition

Un couple de coordonnées polaires de M dans le repère polaire ( O ;

) est un couple ( r ; α ) où r est la distance OM et α est une mesure, en radians, de l'ange orienté

Si ( r ; α ) est un couple de coordonnées polaires de M, tout autre couple de coordonnées polaires de M est de la forme ( r ; α' ) où

.

Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes

Si ( r ; α ) est un couple de coordonnées polaires de M, alors son couple de coordonnées cartésiennes ( x ; y ) est : x = rcos α et y = rsin α.

2. Module et argument

Définitions

z est un nombre complexe non nul, M son image dans le plan complexe et ( r ; α ) est un couple de coordonnées polaires de M.

Par définition, r est le module de z : on note |z| = r.
α est un argument de z : on note arg(z) =

Exemple :

; |z_A| =

; arg(z_A) =

; |z_B| = 1 ; arg(z_B) =

Propriétés
• Si z = x + iy (x et y réels), |z|² = x² + y² = z x

• Quel que soit le réel x ≠ 0, si x > 0, alors arg(x) = 0 [2

] ; et si x < 0, alors arg(x) = [2

].

• Quel que soit z = iy, avec y ≠ 0, si y > 0, alors arg(iy) =

; et si y < 0, alors arg(iy) =

3. Forme trigonométrique

Théorème

z est un nombre complexe non nul.

• Si |z| = r et arg(z) = α [2

], alors z = r (cos α + isin α).
• Si z = r (cos α + isin α) avec r > 0, alors |z| = r et arg(z) = α [2

Exemple :

; arg(z_A) =

;

|z_B| = 1 ; arg(z_B) =

;

Forme algébrique et forme trigonométrique

Soit z ≠ 0.
Si la forme algébrique de z est z = x + iy et sa forme trigonométrique z = r(cos α + isin α),

alors

;

Exemple : Soit z = 1 + i à mettre sous forme trigonométrique.

;

Forme trigonométrique et opérations

Soient z = r (cos α + isin α) et z' = r'(cos α' + isin α').

Conjugué de z

= r (cos (-α) + isin (-α)) = r (cos (α) - isin (α)).

Addition et opposé

z + z' = r(cos α + isin α) + r'(cos α' + isin α').

-z est l'opposé de z ;
-z = r [cos (α +

) + isin (α +

)].

Multiplication, puissance, inverse et quotient

• z x z' = rr' (cos ( α + α' ) + isin ( α + α' )).

• Si n est un entier naturel, zⁿ = rⁿ (cos (nα) + isin (nα)).

• Si z ≠ 0 ;

((cos (-α) + isin (-α)).

• Si z' ≠ 0 ;

((cos (α - α') + isin (α - α')).

Démonstrations :
z x z' = rr' [(cos α + isin α) x (cos α' + isin α')] ;
z x z' = rr' [(cos α cos α' - sin α sin α') + i (sin α cos α' + cos α sin α')] ;
d'où z x z' = rr' (cos ( α + α' ) + isin ( α + α' )).

Un raisonnement par récurrence permet d'établir la formule:
, zⁿ = rⁿ (cos (nα) + isin (nα)).

Pour l'inverse de z :

si z ≠ 0 ; z x z' = 1 ⇔ ⇔ ⇔ .

Enfin, on obtient la formule du quotient en appliquant la formule du produit à .

Exemples :

et ;

;

.

4. Récapitulatif des formules

Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z'
Conjugué		arg () = - arg (z) [2]
Opposé	\|-z\| = \|z\|	arg(-z) = + arg(z) [2]
Produit	\|zz'\| = \|z\| x \|z'\|	arg(zz') = arg(z) + arg(z') [2]
Puissance	\|zⁿ\| = \|z\|ⁿ	arg(zⁿ) = n arg (z) [2]
Inverse		arg() = - arg(z) [2]
Quotient		arg() = arg(z) - arg(z') [2]