Module, argument, forme trigonométrique - Maxicours MAXICOURS

Module, argument, forme trigonométrique

Objectis :
- Savoir calculer les coordonnées polaires, le module et l'argument
- Différencier les formes trigonométriques des algébriques
- Être capable d'effectuer des opérations avec des nombres complexes
1. Coordonnées polaires
Définition

Un couple de coordonnées polaires de M dans le repère polaire ( O ; ) est un couple ( r ; α ) où r est la distance OM et α est une mesure, en radians, de l'ange orienté .
Si ( r ; α ) est un couple de coordonnées polaires de M, tout autre couple de coordonnées polaires de M est de la forme ( r ; α' ) où .

Coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes

Si ( r ; α ) est un couple de coordonnées polaires de M, alors son couple de coordonnées cartésiennes ( x ; y ) est : x = rcos α    et    y = rsin α.
2. Module et argument
Définitions

z est un nombre complexe non nul, M son image dans le plan complexe et ( r ; α ) est un couple de coordonnées polaires de M.

Par définition, r est le module de z : on note |z| = r.
α est un argument de z : on note arg(z) = .

Exemple :

    ;   |zA| =    ;   arg(zA) = .

   ;   |zB| = 1   ;   arg(zB) = .
 


Propriétés
• Si z = x + iy  (x et y réels), |z|2 = x2 + y2 = z x

• Quel que soit le réel x ≠ 0, si x > 0, alors arg(x) = 0 [2] ; et si x < 0, alors arg(x) =  [2].

• Quel que soit z = iy, avec y ≠ 0, si y > 0, alors arg(iy) = ; et si y < 0, alors arg(iy) =
3. Forme trigonométrique

 
Théorème
z est un nombre complexe non nul.

• Si |z| = r  et arg(z) = α [2], alors z = r (cos α + isin α).
• Si z = r (cos α + isin α) avec r > 0, alors |z| = r et arg(z) = α [2].
Exemple :     ;   arg(zA) = .

;

|zB| = 1 ; arg(zB) = ;


.
 

 

Forme algébrique et forme trigonométrique

Soit z ≠ 0.
Si la forme algébrique de z est z = x + iy et sa forme trigonométrique z = r(cos α + isin α),
alors   ;     ;   .


Exemple : Soit z = 1 + i à mettre sous forme trigonométrique.

  ;





 

Forme trigonométrique et opérations

Soient z = r (cos α + isin α) et z' = r'(cos α' + isin α').

Conjugué de z


= r (cos (-α) + isin (-α)) = r (cos (α) - isin (α)).

 

Addition et opposé

z + z' = r(cos α + isin α) + r'(cos α' + isin α').

-z est l'opposé de z ;
-z = r [cos (α + ) + isin (α + )].
Multiplication, puissance, inverse et quotient

z x z' = rr' (cos ( α + α' ) + isin ( α + α' )).

Si n est un entier naturel, zn = rn (cos (nα) + isin (nα)).

Si z ≠ 0 ; ((cos (-α) + isin (-α)).

• Si z' ≠ 0 ; ((cos (α - α') + isin (α - α')).
 
 


Démonstrations :
z x z' = rr' [(cos α + isin α) x (cos α' + isin α')] ;
z x z' = rr' [(cos α cos α' - sin α sin α') + i (sin α cos α' + cos α sin α')] ;
d'où z x z' = rr' (cos ( α + α' ) + isin ( α + α' )).

Un raisonnement par récurrence permet d'établir la formule:
, zn = rn (cos (nα) + isin (nα)).

Pour l'inverse de z :

si z ≠ 0 ; z x z' = 1 ⇔    ⇔    ⇔  .

Enfin, on obtient la formule du quotient en appliquant la formule du produit à .

Exemples :

  et    ;



;

.

4. Récapitulatif des formules
Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z'
Conjugué arg () = - arg (z) [2]
Opposé |-z| = |z| arg(-z) =  + arg(z) [2]
Produit |zz'| = |z| x |z'| arg(zz') = arg(z) + arg(z') [2]
Puissance |zn| = |z|n      arg(zn) = n arg (z) [2]     
Inverse arg() = - arg(z) [2]
Quotient arg() = arg(z) - arg(z') [2]

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