Congruences dans Z
Soient a et b deux entiers naturels.
a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n

Définition
Si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n, on dit que a est congru à b modulo de n, ou que a et b sont congrus modulo n.

• Exemple 1 :
17 est congru à 9 modulo 2 car 17 et 9 ont le même reste (1) dans la division euclidienne par 2.
On vérifie que leur différence égale à 8 est multiple de 2.
• Exemple 2 :
39 et 15 sont congrus modulo 6 car ils ont le même reste (3) dans le division euclidienne par 6.
• a + c est congru à b + d modulo n ;
• a - c est congru à b - d modulo n ;
• a x c est congru à b x d modulo n ;
• pour tout m entier naturel, am est congru à bm modulo n.
Attention, la congruence n'est pas compatible avec la division:
21 est congru à 1 modulo 4 ; 7 est congru à 3 modulo 4 ; et



• Exemple 1 :
1952 est congru à 1 modulo 8.
En effet, 19



d'où, 1952 = (192)26


En d'autres termes, le reste de le division de 1952 par 8 est 1.
• Exemple 2 :
Quel que soit n

En effet, 32n + 2 = (32)n + 1 = 9n + 1 or 9


d'où 32n + 2 - 2n + 1


En d'autres termes, quel que soit n


Fiches de cours les plus recherchées

Des profs en ligne
- 6j/7 de 17h à 20h
- Par chat, audio, vidéo
- Sur les 10 matières principales

Des ressources riches
- Fiches, vidéos de cours
- Exercices & corrigés
- Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques
- Coach virtuel
- Quiz interactifs
- Planning de révision

Des tableaux de bord
- Suivi de la progression
- Score d’assiduité
- Une interface Parents