Congruences dans Z
Objectif :
Congruence modulo n – Compatibilité avec
les opérations
1. Congruence modulo n
Théorème
Soient a et b deux entiers naturels.
a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n
a -
b est un multiple de n.
Définition
Si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n, on dit que a est congru à b modulo de n, ou que a et b sont congrus modulo n.
Soient a et b deux entiers naturels.
a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n
a -
b est un multiple de n.Définition
Si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n, on dit que a est congru à b modulo de n, ou que a et b sont congrus modulo n.
On écrit 
.
.
• Exemple 1 :
17 est congru à 9 modulo 2 car 17 et 9 ont le même reste (1) dans la division euclidienne par 2.
On vérifie que leur différence égale à 8 est multiple de 2.
• Exemple 2 :
39 et 15 sont congrus modulo 6 car ils ont le même reste (3) dans le division euclidienne par 6.
2. Compatibilité avec les opérations
Si a est congru à b modulo n
et c congru à d modulo n,
alors:
• a + c est congru à b + d modulo n ;
• a - c est congru à b - d modulo n ;
• a x c est congru à b x d modulo n ;
• pour tout m entier naturel, am est congru à bm modulo n.
Attention, la congruence n'est pas compatible avec la division:
21 est congru à 1 modulo 4 ; 7 est congru à 3 modulo 4 ; et
n'est pas un entier donc 
= 3 ne peut pas
être congru à 
.
• a + c est congru à b + d modulo n ;
• a - c est congru à b - d modulo n ;
• a x c est congru à b x d modulo n ;
• pour tout m entier naturel, am est congru à bm modulo n.
Attention, la congruence n'est pas compatible avec la division:
21 est congru à 1 modulo 4 ; 7 est congru à 3 modulo 4 ; et
n'est pas un entier donc = 3 ne peut pas
être congru à .
• Exemple 1 :
1952 est congru à 1 modulo 8.
En effet, 19
3
[8] donc 192
32 [8] puis 192
1
[8] ;d'où, 1952 = (192)26
126 [8] donc 1952
1
[8].En d'autres termes, le reste de le division de 1952 par 8 est 1.
• Exemple 2 :
Quel que soit n
, le
nombre 32n + 2 - 2n + 1 est congru
à 0 modulo 7.En effet, 32n + 2 = (32)n + 1 = 9n + 1 or 9
2
[7] donc 9n + 1
2n + 1 [7],d'où 32n + 2 - 2n + 1
2n + 1 - 2n + 1
0
[7].En d'autres termes, quel que soit n
, 32n
+ 2 - 2n + 1 est divisible par 7.
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