Congruences dans Z - Maxicours

Congruences dans Z

Objectif :
  • Congruence modulo n
  • Compatibilité des congruences avec les opérations
Points clés
  • Si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n alors a - b est un multiple de n, on dit que a est congru à b modulo de n, ou que a et b sont congrus modulo n. On écrit
  • Si a est congru à b modulo n et c congru à d modulo n, alors :
    a + c est congru à b + d modulo n ;
    a - c est congru à b - d modulo n ;
    a x c est congru à b x d modulo n ;
    • pour tout m entier naturel, am est congru à bm modulo n.
1. Congruence modulo n
Théorème
Soient a et b deux entiers naturels.
Si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n alors a - b est un multiple de n.
Définition
Si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n, on dit que a est congru à b modulo de n, ou que a et b sont congrus modulo n.
Notation
On écrit .
Exemple 1
17 est congru à 9 modulo 2 car 17 et 9 ont le même reste (1) dans la division euclidienne par 2.
On vérifie que leur différence égale à 8 est multiple de 2.
Exemple 2
39 et 15 sont congrus modulo 6 car ils ont le même reste (3) dans le division euclidienne par 6.
2. Compatibilité avec les opérations
Si a est congru à b modulo n et c congru à d modulo n, alors:
a + c est congru à b + d modulo n ;
a - c est congru à b - d modulo n ;
a x c est congru à b x d modulo n ;
• pour tout m entier naturel, am est congru à bm modulo n.

Attention, la congruence n'est pas compatible avec la division:
21 est congru à 1 modulo 4 ; 7 est congru à 3 modulo 4 ; et n'est pas un entier donc = 3 ne peut pas être congru à .
Exemple 1
1952 est congru à 1 modulo 8.
En effet,  19 3 [8]  donc 192 32 [8]  puis 192 1 [8] ;

d'où, 1952 = (192)26 126 [8]  donc 1952 1 [8].
En d'autres termes, le reste de le division de 1952 par 8 est 1.

 

Exemple 2
Quel que soit n , le nombre 32n + 2 - 2n + 1 est congru à 0 modulo 7.
En effet, 32n + 2 = (32)n + 1 = 9n + 1  or 9 2 [7]  donc 9n + 1 2n + 1 [7],
d'où 32n + 2 - 2n + 1  2n + 1 - 2n + 1 0 [7].

En d'autres termes, quel que soit n , 32n + 2 - 2n + 1 est divisible par 7.

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