Congruences dans Z
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Congruence modulo n
- Compatibilité des congruences avec les opérations
- Si a et b ont le même reste dans la
division euclidienne par n
alors a - b est un multiple de
n, on dit que a est congru à
b modulo de n, ou que a et b
sont congrus modulo n. On écrit
- Si a est congru à b modulo
n et c congru à d modulo
n, alors :
• a + c est congru à b + d modulo n ;
• a - c est congru à b - d modulo n ;
• a x c est congru à b x d modulo n ;
• pour tout m entier naturel, am est congru à bm modulo n.
Soient a et b deux entiers naturels.
Si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n alors a - b est un multiple de n.
Si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n, on dit que a est congru à b modulo de n, ou que a et b sont congrus modulo n.
On écrit
.
17 est congru à 9 modulo 2 car 17 et 9 ont le même reste (1) dans la division euclidienne par 2.
On vérifie que leur différence égale à 8 est multiple de 2.
39 et 15 sont congrus modulo 6 car ils ont le même reste (3) dans le division euclidienne par 6.
• a + c est congru à b + d modulo n ;
• a - c est congru à b - d modulo n ;
• a x c est congru à b x d modulo n ;
• pour tout m entier naturel, am est congru à bm modulo n.
Attention, la congruence n'est pas compatible avec la division:
21 est congru à 1 modulo 4 ; 7 est congru à 3 modulo 4 ; et
n'est pas un entier donc 
= 3 ne peut pas
être congru à 
.
1952 est congru à 1 modulo 8.
En effet, 19
3
[8] donc 192
32 [8] puis 192
1 [8] ;d'où, 1952 = (192)26
126 [8] donc 1952
1 [8].En d'autres termes, le reste de le division de 1952 par 8 est 1.
Quel que soit n
, le
nombre 32n + 2 - 2n + 1 est congru
à 0 modulo 7.En effet, 32n + 2 = (32)n + 1 = 9n + 1 or 9
2 [7] donc 9n + 1
2n + 1 [7],d'où 32n + 2 - 2n + 1
2n + 1 - 2n + 1
0 [7].En d'autres termes, quel que soit n
,
32n + 2 - 2n + 1 est divisible par
7.
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques expertes
PGCD, nombres premiers entre eux
Mathématiques expertes
Division euclidienne
Mathématiques expertes
Les nombres premiers - Terminale
Mathématiques expertes
Théorème de Bézout et théorème de Gauss
Mathématiques expertes
Module, argument, forme trigonométrique
Mathématiques expertes
Forme exponentielle - Formules de Moivre et d'Euler
Mathématiques expertes
Trinôme du second degré dans l'ensemble des nombres complexes
Mathématiques expertes
Divisibilité dans Z
Mathématiques expertes
Congruences dans Z
Mathématiques expertes
PGCD, nombres premiers entre eux
Mathématiques expertes
Division euclidienne
Mathématiques expertes
Les nombres premiers - Terminale
Mathématiques expertes
Théorème de Bézout et théorème de Gauss
Mathématiques expertes
Module, argument, forme trigonométrique
Mathématiques expertes
Forme exponentielle - Formules de Moivre et d'Euler
Mathématiques expertes
Trinôme du second degré dans l'ensemble des nombres complexes
Fermer
Accédez gratuitement à
