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Les nombres premiers

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Objectif

Maîtriser les notions d'infinitude et de répartition des nombres premiers, ainsi que les nombres premiers particuliers.
Savoir décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.
Connaitre les nombres premiers particuliers (nombres de Mersenne, nombres de Fermat)
Connaître le principe de clé publique et de clé privée du système cryptographique RSA.

Points clés

Un nombre premier admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
L'ensemble des nombres premiers est infini.
Les nombres premiers sont répartis irrégulièrement, et se raréfient.
Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 est soit un nombre premier, soit un produit de nombres premiers (on appellera cela une décomposition en produit de facteurs premiers).
La décomposition en produit de facteurs premiers, pour un entier naturel strictement supérieur à 1, est unique.
Les entiers de la forme sont appelés nombres de Mersenne. Si n n'est pas un nombre premier, alors M_n n'est pas premier.
Les entiers de la forme sont appelés nombres de Fermat. Si n ≠ m, alors F_n et F_m sont premiers entre eux.

1. Généralités

a. Définition

Un nombre entier naturel est premier s'il admet exactement deux diviseurs dans

: 1 et lui-même.

Exemples
0 admettant une infinité de diviseurs n'est pas un nombre premier.
1 n'admet qu'un seul diviseur 1, il n'est donc pas premier.
2 admet comme seuls diviseurs 1 et lui-même, il est donc premier.

b. Reconnaissance

Propriété
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Si n n'est divisible par aucun nombre premier p tel que

, alors n est premier.

Exemple d'utilisation
117 est un nombre premier, en effet :

, les seuls nombres premiers compris entre 2 et 10 sont : 2, 3, 5 et 7. 117 n'est divisible par aucun de ces nombres, il est donc premier.

c. Décomposition en facteurs premiers

Propriété
Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 est soit un nombre premier, soit un produit de nombres premiers (on appellera cela une décomposition en produit de facteurs premiers).

Preuve
Supposons que n soit un nombre non premier. Il existe alors un plus petit diviseur premier d₁ supérieur ou égal à 2, et un entier naturel n₁ tel que n = d₁n₁ avec n₁ < n. Puis on continue le raisonnement : soit n₁ est premier soit il ne l'est pas ...
On construit donc une suite (n_i) d'entiers qui est strictement décroissante. Cette suite est finie, si on note par r le dernier rang on a donc : n_r = 1. On construit aussi une suite finie de nombres premiers (p_i), on a donc : n = p₁p₂...p_r

Propriété admise
La décomposition en produit de facteurs premiers, pour un entier naturel strictement supérieur à 1, est unique.

d. Répartition

Propriétés

L'ensemble des nombres premiers est infini.
La répartition des nombres premiers n'est pas régulière.
Loi de raréfaction des nombres premiers : pour n assez grand, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n est environ égal à .

2. Nombres premiers particuliers

a. Nombres de Mersenne

Marin Mersenne (1588-1648) était un scientifique qui tenta de dresser la liste de certains nombres premiers.

Définition
Les entiers de la forme

sont appelés nombres de Mersenne.

Propriété
Si n n'est pas un nombre premier, alors M_n n'est pas premier.

Preuve
Si n n'est pas un nombre premier, il existe donc un diviseur p compris strictement entre 1 et n, il existe donc un entier q tel que n = pq. On a donc , donc M_n n'est pas un nombre premier.

Corollaire
Si M_n est premier, alors n est premier.

b. Nombres de Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665) était un mathématicien qui émit la conjecture suivante : les entiers de la forme +1 avec n un nombre entier, sont premiers.

Définition
Les entiers de la forme

sont appelés nombres de Fermat.

Exemples

On admet le théorème suivant :

Si n ≠ m, alors F_n et F_m sont premiers entre eux.

3. Sensibilisation au système cryptographique RSA

Il s'agit d'un système de codage développé au Massachussets Institute of Technologie en 1977 par Ronald Rivest, Adi Shamir et Léonard Adleman. Ce système est à clé publique.

Principe général

Je veux transmettre le message X.
La clé publique est la donnée de deux nombres : e et n.
Par une procédure de calcul je transforme X en Y, et je transmets Y.
Le message Y ne pourra être lu que par la personne possédant la clé privée.

Méthode

Création de la clé privée d
On se donne 4 entiers naturels : p, q, e et d avec :
p et q premiers, e premier avec (p-1)(q-1) et ed1 [(p-1)(q-1)]
Création de la clé publique n et e
On pose n = pq.
Transmission codée Y
On calcule Y = X^e [n]
Décodage de l'information Y
On calcule Y^dX^edX [n] (utilisation du petit théorème de Fermat)