Lycée > Terminale > Mathématiques expertes > Théorème de Bézout et théorème de Gauss

Théorème de Bézout et théorème de Gauss

Fiche de cours Quiz Profs en ligne Vidéos Télécharger le pdf

Fiche de cours Quiz Profs en ligne Vidéos Télécharger
le pdf

Objectif(s)

Connaitre et utiliser le théorème de Bézout
Connaitre et utiliser le théorème de Gauss

Points clés

Soient deux nombres naturels a et b. Si D est leur PGDC (Plus Grand Commun Diviseur) alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = D.
L'équation ax + by = k n'admet des couples d'entiers solutions que si k est un multiple du PGCD de a et b.
Théorème de Bézout : Deux nombres entiers naturels a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
L'équation ax + by = 1 n'admet des couples entiers solutions que si les coefficients a et b sont premiers entre eux.
Théorème de Gauss : a, b et c sont des entiers non nuls.
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c.
Une des utilisations due théorème de Gauss est la recherche de l'ensemble des couples d'entiers solution d'une équation du type ax + by = c (a, b et c entiers) à partir d'une solution particulière.

1. Théorème de Bézout

a. Egalité de Bézout

Soient deux nombres naturels a et b.
Si D est leur PGDC (Plus Grand Commun Diviseur) alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = D.

Exemple : Soit l'équation 15x + 9y = 3.
3 est le PGCD de 15 et 9 ; donc on peut trouver un couple d'entiers (x ; y) solution de l'équation.
(2 ; -3) est un couple de solution car 2 x 15 + (-3) x 9 = 3.
(-4 ; 7) est aussi un couple solution car (-4) x 15 + 7 x 9 = 3.

Conséquence
L'équation ax + by = k n'admet des couples d'entiers solutions que si k est un multiple du PGCD de a et b.

Démonstration
Soit D le PGCD de a et b et soit k un nombre entier non multiple de D.
Supposons qu'il existe deux entiers p et q tels que ap + bq = k.
Par définition D divise a et D divise b donc D divise la combinaison linéaire ap + bq.
Or, ap + bq = k donc D divise k, ce qui est contraire à la donnée, donc p et q n'existent pas et l'équation n'a pas de solutions entières.

Exemple
Soit l'équation 12x + 18y = 15. Le PGCD de 12 et 18 est 6 et 15 n'est pas multiple de 6, donc l'équation n'a pas de solutions entières.

b. Théorème de Bézout

Théorème
Deux nombres entiers naturels a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.

Démonstrations

Si a et b sont premiers entre eux, alors il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
En effet, si a et b sont premiers entre eux alors leur PGCD est 1 et d'après l'égalité de Bézout, il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
S'il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1, alors a et b sont premiers entre eux.
Le PGCD D de a et b divise a et divise b, donc il divise au + bv.
Or au + bv = 1 donc D divise 1, ce qui prouve que D = 1 et que a et b sont premiers entre eux.
En effet -2(7p + 3) + 7(2p + 1) = 1. Donc il existe deux entiers u = -2 et v = 7 tels que au + bv = 1.

Conséquence
L'équation ax + by = 1 n'admet des couples entiers solutions que si les coefficients a et b sont premiers entre eux.

Exemple : l'équation 15x + 9y = 1 n'a pas de solution dans

car 15 et 9 ne sont pas premiers entre eux.

2. Le théorème de Gauss

Théorème
a, b et c sont des entiers non nuls.
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c.

Démonstration
a divise bc, donc il existe k entier tel que bc = ka.
a et b sont premiers entre eux donc il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1.
D'où c = cau + cbv et bc = ka, donc c = cau + kav = a(cu + kv) ce qui prouve que a divise c.

Exemple
Si deux entiers n et q vérifient l'égalité 3n = 4q, le théorème de Gauss permet d'affirmer que n est divisible par 4.
En effet 4 divise 3n, 4 est premier avec 3 donc 4 divise n (pour la même raison q est divisible par 3).

Utilisation

Une des utilisations de ce théorème est la recherche de l'ensemble des couples d'entiers solution d'une équation du type ax + by = c (a, b et c entiers) à partir d'une solution particulière.

Exemple : On sait que (2 ; 1) est une solution particulière de 4x - 3y = 5.
Trouver tous les couples solutions de l'équation.

On sait que 4 x 2 - 3 x 1 = 5 et que 4x - 3y = 5 donc 4 x 2 - 3 x 1 = 4x - 3y.
On peut écrire 4 x 2 - 4x = 3 x 1 - 3y soit 4(2 - x) = 3(1 - y).
4 divise 3(1 - y) et 4 est premier avec 3 donc 4 divise 1 - y d'après le théorème de Gauss.
Donc il existe k entier tel que 1 - y = 4k, d'où y = 1 + 4k ; k entier.
On en déduit que x = 2 + 3k.
Donc, si le couple (x ; y) est solution, alors y = 1 + 4k et x = 2 + 3k.
Réciproquement s'il existe k entier tel que y = 1 + 4k et x = 2 + 3k, alors 4(2 + 3k) - 3(1 + 4k) = 8 - 3 = 5 donc le couple (x ; y) est solution de l'équation.

Les couples solutions sont (2 + 3k ; 1 + 4k) avec k entier.

Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !