Objectif :

La fonction
La forme exponentielle d'une fonction
Règles de calcul en écriture exponentielle

1. La fonction cos? + i.sin?

Soit la fonction définie sur

et à valeurs dans

On sait que pour tous z et z' non nuls de , |zz'| = |z| |z'| et arg (zz') = arg (z) + arg (z') [2].
Donc, pour tout et réels:
.

La relation fonctionnelle caractéristique de la fonction exponentielle :

Par analogie, on écrit :

2. Forme exponentielle

Nombres complexes de module 1
D'après le paragraphe précédent , tout nombre complexe de module 1 et d'argument θ, se note e^iθ.

Exemples :

θ	0
eⁱ^θ	1	(1 + i)	i	-1

Forme générale
Un nombre complexe non nul z de module r et d'argument θ, s'écrit :
z = r (cos θ + isin θ) et donc s'écrit aussi z = re^iθ.

Exemple : Si z = 1 + i, alors |z| = ,

donc .

Le module de z est et un argument de z est ,

donc la forme exponentielle de z est .

3. Règles de calcul en écriture exponentielle

Les règles de calcul déjà étudiées s'écrivent:

;

Remarque :

s'appelle la formule de Moivre.

Exemple :

et ;

et ;

;

.

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Forme exponentielle - Formules de Moivre et d'Euler

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