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Forme exponentielle - Formules de Moivre et d'Euler

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Objectif :

La fonction
La forme exponentielle d'une fonction
Règles de calcul en écriture exponentielle

1. La fonction cos? + i.sin?
Soit la fonction définie sur et à valeurs dans , .


On sait que pour tous z et z' non nuls de , |zz'| = |z| |z'|  et arg (zz') = arg (z) + arg (z') [2].
Donc, pour tout et réels:
.

La relation fonctionnelle caractéristique de la fonction exponentielle : .
Par analogie, on écrit :
2. Forme exponentielle
Nombres complexes de module 1
D'après le paragraphe précédent , tout nombre complexe de module 1 et d'argument θ, se note e.


Exemples :

θ 0
eiθ 1 (1 + i) i -1

Forme générale

Un nombre complexe non nul z de module r et d'argument θ, s'écrit :
z = r (cos θ + isin θ)  et donc s'écrit aussi z = re.


Exemple : Si z = 1 + i, alors |z| = ,

donc .

Le module de z est et un argument de z est ,

donc la forme exponentielle de z est .

3. Règles de calcul en écriture exponentielle
Les règles de calcul déjà étudiées s'écrivent:
  ;      ;      ;   .

Remarque :   s'appelle la formule de Moivre.


Exemple :

   et   ;

   et   ;

;

.

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Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

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