Résoudre un problème de statique avec trois forces non parallèles

Le PFS, principe fondamental de la statique, s’applique à un solide quand il est à l’équilibre, c’est-à-dire quand il est soumis à des forces extérieures telles que :

• la somme de ces forces est égale au vecteur nul :  ;
• la somme des moments des ces forces, exprimés en un même point P, est égale au vecteur nul : .

On résume le PFS avec le torseur statique : 

.

Ce torseur statique est aussi noté de la manière suivante, axe par axe :

On peut observer l’effet produit par un moment en d’autres points que son pivot. Dans le cas d’un problème plan, on peut pour cela utiliser la formule du bras de levier pour calculer la valeur du moment au niveau du second point.

avec : A le point initial dont on connait le moment B le point dont on veut calculer le moment l’action mécanique, et ses composantes sur et   et  les composantes sur et du vecteur

La méthode de résolution graphique est rapide à mettre en oeuvre. Elle donne des résultats qui ne sont pas exactes, mais dont la précision est très satisfaisante si les tracés sont réalisés soigneusement.

On identifie la pièce, ou l’assemblage, que l'on souhaite étudier et on analyse ce qui l’entoure et ses contacts avec les autres éléments.

Exemple

L’étude porte ici sur la biellette 3, qui se trouve au sein d’un système à l’équilibre mécanique : on pourra donc appliquer le PFS afin de déterminer l’ensemble des caractéristiques des actions mécaniques appliquées à 3.

On réalise le bilan (la liste) des actions mécaniques extérieures que ce solide subit. Le mieux est de ranger ces actions mécaniques dans un tableau récapitulatif, qui liste toutes les informations que l’on connait.

Exemple
Le tableau récapitulatif des actions mécaniques appliquées à (3) est le suivant.

Action mécanique	Point d'application	Direction	Sens	Norme (N)
	B	(AB)	de A vers B	80
	C	(d) = horizontale	???	???
	D	???	???	???

Explication de la ligne associée à l’action mécanique 

• On sait que la direction de cette action mécanique est la droite (AB), grâce au principe d’action-réaction : la direction de  est la même que celle de .
• Et la direction de  est la droite (AB) car l’ensemble {1, 2} n’est soumis qu’à deux forces, une en A et une en B.

Les trois actions mécaniques appliquées au solide ont des directions non parallèles, ces directions sont concourantes, c’est-à-dire qu’elles se croisent en un même point : ce point s'appelle le point de concours.

1. Pour déterminer le point de concours des directions des actions mécaniques, on prolonge les vecteurs ou les directions qu’on connait déjà. Ils doivent se croiser en un point, qui est le point de concours.
2. On relie ensuite le point d’application de l’action mécanique pour laquelle nous n’avions aucune information au point de concours.

1. On dessine un triangle en plaçant le vecteur que l’on connait, puis en traçant à ses extrémités les droites des directions des deux autres actions mécaniques.
2. On trace les vecteurs qui manquent en suivant le sens de la flèche du premier vecteur.
3. On applique ensuite l’échelle pour déterminer les normes des deux actions mécaniques.

On résume les caractéristiques des actions mécaniques dans un tableau.

Action mécanique	Point d'application	Direction	Sens	Norme (N)
	B	(AB)	de A vers B	80
	C	(d) = horizontale	vers la gauche	240
	D	droite allant de D au point de concours	vers la droite	175

La méthode de résolution analytique est plus longue à mettre en œuvre. Elle donne cependant des résultats exactes, hors approximations volontaires lors des calculs.

Les étapes 1 (Isoler le solide) et 2 (Réaliser le bilan des actions mécaniques) sont les mêmes que pour la méthode de résolution graphique.

On va représenter, avec la notation torseur, les deux égalités du PFS : l’égalité des forces et l’égalité des moments. On en extrait ensuite le système d’équation à résoudre.

Exemple
Le PFS nous dit que .

Le torseur des actions mécaniques s’écrit donc, axe par axe et en choisissant le point D comme centre pour les moments.

Remarque
On choisit le point pour lequel il y a le plus d’inconnues comme centre pour le moments, car cela simplifiera les équations au maximum. C’est pour cela qu’on a ici choisi le point D.

Comme nous sommes dans un problème plan, dans le plan (Oxy), ce torseur se simplifie de la manière suivante.

Explication
Un problème plan est une situation dans laquelle les actions mécaniques ne se produisent que dans un plan de l’espace. Les forces ont alors uniquement des composantes suivant deux axes, souvent et , et elles ne produisent de moments qu’autour de l’axe .

On va donc travailler avec les trois équations suivantes.
(1)

(2)

(3) 

On résout les équations afin de déterminer les inconnues.

Exemple
On va récupérer, par la mesure ou grâce aux côtes du schéma, les données sur les longueurs et les actions mécaniques qu’on peut déjà connaitre.

On calcule dans un premier temps, grâce à la trigonométrie, les composantes sur et de en projetant sur les deux axes :

En reprenant les trois équations, et en remplaçant par les valeurs disponibles, on a les résolutions suivantes.

(1) ,
on a donc .
On a pour le moment deux inconnues dans cette équation, on ne peut donc pas encore la résoudre.

(2) ,
on a donc ,
ce qui donne directement N.

(3) Pour l’équation des moments, il va falloir effectuer quelques calculs : il faut déterminer, pour les actions mécaniques en B et en C, les moments qu’elles produisent par rapport au point D.

La formule du bras de levier nous donne :
(3a) 
                                                   

Explications

• Le moment d’une force est nul au niveau de son point d’application.
• D’après les côtes indiquées sur le schéma : 
   = 17,3 cm et  = 29,7 cm.

Soit

(3b) 

Explications
 est nulle car la direction de  est horizontale. 

(3c) On a simplement car le point D est le point d’application de cette action mécanique.

Ainsi, l’équation (3) s’exprime : ,
ce qui permet d’obtenir  N.

Enfin, on peut reprendre l’équation (1) :
qui devient  N.

On résume les caractéristiques des actions mécaniques dans un tableau.

Action mécanique	Point d'application	Direction	Sens	Norme (N)
	B	(AB)	de A vers B	80
	C	(d) = horizontale	vers la gauche	241
	D	droite allant de D au point de concours	vers la droite	172