La mécanique du point et les équations horaires

La mécanique du point est plus adaptée que la mécanique des solides pour résoudre certains problèmes.

Le point choisi pour représenter l'objet est souvent son centre de gravité. Ce point est étudié dans un référentiel galiléen et est associé à un repère tridimensionnel (Oxyz), orthogonal et orthonormé.

En mécanique du point, le point qui modélise l’objet étudié est caractérisé par une masse m, en kilogramme (kg).

Le point est aussi caractérisé par un vecteur position.

Si on nomme le point par la lettre M, avec O l'origine du repère, son vecteur position est .
L'unité des composantes d'OM est le mètre (m).

Le point est également associé à un vecteur vitesse, .

L'unité des composantes de est le mètre par seconde (m·s^–1).

Le point possède de plus un vecteur accélération, .

L'unité des composantes de est le mètre par seconde au carré
(m·s^–2).

Enfin, on pourra tracer la trajectoire du point, et donc de l’objet.

Si la vitesse et/ou l'accélération ne sont pas toutes les deux nulles, alors la position de l’objet va évoluer au cours du temps.

Pour représenter cette évolution, on note :

• le vecteur position initial  ;
• la fonction qui représente le vecteur  en fonction du temps .

De même, si l'accélération n'est pas nulle, alors la vitesse de l’objet va évoluer au cours du temps.

Pour représenter cette évolution, on note :

• le vecteur vitesse initial  ;
• la fonction qui représente le vecteur en fonction du temps .

Si f(t) =  alors sa primitive en fonction du temps vaut :

F(t) = .

En prenant comme constante d'intégration, on obtient l’équation suivante.

avec : le vecteur vitesse du point à l’instant t, en m·s–1 l’accélération du point, en m·s–2 t le temps écoulé depuis l’instant initial, en s le vecteur vitesse initial, en m·s–1

Si f(t) = , alors sa primitive en fonction du temps vaut :

F(t) = 

En prenant  comme constante d'intégration, on obtient l’équation suivante.

avec :  le vecteur position du point à l’instant t, en m l’accélération du point, en m·s–2 t le temps écoulé depuis l’instant initial, en s le vecteur vitesse initial, en m·s–1  le vecteur position initial du point, en m

Voici un exemple complet d’utilisation des équations horaires pour résoudre un problème de mécanique.

On étudie la chute d’un objet, à 7 m de hauteur et lancé avec une vitesse horizontale de 3 m·s^–1.

L’objet est modélisé par un point M. On est dans le cas d’un problème plan, de plan (Oxy). L’axe des abscisses (Ox) représente le sol. Enfin, on néglige le frottement de l’air et on considère que l’objet n’est soumis qu’à la force de pesanteur.

On détermine graphiquement les caractéristiques du point M.

• Vecteur position initial 
• Vecteur vitesse initial
• Vecteur accélération

L’application des équations horaires permet de connaitre la vitesse et la position du point M au cours du temps.

• 
• 

Cela donne, sur l’axe  :

Cela donne, sur l’axe  :

Cela revient ici à résoudre l’équation .

Il y a mathématiquement deux solutions et .

Physiquement, on s’intéresse à un événement qui se déroule après t = 0 s. On prend donc la solution positive : l’objet touche le sol au bout de 1,2 s.

Lorsque l’objet touche le sol (en t = 1,2 s) sa vitesse sera alors de :

•  m·s^–1 sur l’axe  ;
• 
      m·s^–1 sur l’axe .

Soit :

Pour connaitre la distance parcourue par l’objet, on utilise l’équation horaire de la position sur l’axe  : .
À l’instant t = 1,2 s où l’objet touche le sol, on a :
 m.

On calcule les coordonnées de quelques positions de M(t), dans l’intervalle {0 ; 1,2} de t.

On se sert des deux équations horaires de la position de M, trouvées précédemment :

• 
• 

t	0	0,3	0,6	0,9	1,2
x	0	0,9	1,8	2,7	3,6
y	7	6,6	5,2	3	0

On place ensuite les points trouvés dans le repère, puis on trace la courbe C qui représente la trajectoire de l’objet jusqu’à ce qu’il atteigne le sol.