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La mécanique du point et les équations horaires

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Objectifs
  • Modéliser un objet selon la mécanique du point.
  • Connaitre les équations horaires.
  • Résoudre un problème de mécanique du point à l’aide des équations horaires.
Points clés
  • La mécanique du point propose de modéliser l’objet étudié par un point, plutôt que par un solide.
  • Un point qui représente un objet est caractérisé par une masse et par un vecteur position. L’étude de l’évolution de la position du point se fait grâce au vecteur vitesse et au vecteur accélération.
  • Les équations horaires permettent de déterminer la position et la vitesse en fonction du temps.
    • Position : 
    • Vitesse : 
Pour bien comprendre
  • Connaitre les lois du mouvement de Newton et ce qu’est un référentiel galiléen.
  • Savoir utiliser un repère orthonormé et des vecteurs.
  • Connaitre les primitives usuelles.
  • Connaitre les notions de mouvement, vitesse et accélération.
1. La mécanique du point
a. Point et repère
La mécanique du point propose de modéliser l’objet étudié par un point, plutôt que par un solide.

La mécanique du point est plus adaptée que la mécanique des solides pour résoudre certains problèmes.

Remarque
La mécanique du point permet aussi d'assez bien modéliser les objets de petites dimensions par rapport à leur environnement.

Le point choisi pour représenter l'objet est souvent son centre de gravité. Ce point est étudié dans un référentiel galiléen et est associé à un repère tridimensionnel (Oxyz), orthogonal et orthonormé.

Rappels
  • Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel tous les objets libres (qui ne subissent aucune force) sont soit immobiles, soit en mouvement de translation rectiligne uniforme.
  • Un repère est orthogonal si ses axes sont perpendiculaires les uns aux autres.
  • Un repère est orthonormé si les graduations sur chacun de ses axes ont la même norme, c’est-à-dire la même longueur.
b. Caractéristiques du point
Masse

En mécanique du point, le point qui modélise l’objet étudié est caractérisé par une masse m, en kilogramme (kg).

Vecteur position

Le point est aussi caractérisé par un vecteur position.

Le vecteur position permet de représenter l'endroit où se trouve l’objet par rapport au repère.

Si on nomme le point par la lettre M, avec O l'origine du repère, son vecteur position est .
L'unité des composantes d'OM est le mètre (m).

Exemple

Dans le repère orthonormé (Oxy) ci-dessus, l’objet modélisé par le point M a pour coordonnées (2 ; 3).
Son vecteur position est .

Vecteur vitesse

Le point est également associé à un vecteur vitesse.

Le vecteur vitesse permet de représenter la manière dont la position du point va évoluer au cours du temps.

L'unité des composantes de est le mètre par seconde (m·s1).

Exemple

Dans le repère orthonormé (Oxy) ci-dessus, l’objet modélisé par le point M a pour vecteur position initial .
On sait aussi que son vecteur vitesse est .

Le point M va donc se déplacer, suivant le vecteur , pour chaque unité de temps. On obtient ainsi , puis , etc.

Remarque
Si la vitesse est constante, l’objet est en mouvement de translation rectiligne uniforme.
Vecteur accélération

Le point possède de plus un vecteur accélération.

Le vecteur accélération permet de représenter la manière dont la vitesse du point va évoluer au cours du temps.

L'unité des composantes de est le mètre par seconde au carré
(m·s2).

Exemple

Dans le repère orthonormé (Oxy) ci-dessus, l’objet modélisé par le point M a pour vecteur position initial .
On sait aussi que son vecteur vitesse vaut initialement et que son vecteur accélération vaut .

Le vecteur vitesse va donc être modifié, suivant le vecteur , pour chaque unité de temps. On obtient ainsi , puis , etc.

La détermination exacte du vecteur position sera présentée dans la suite de la fiche, mais on peut voir l’évolution du vecteur position, qui suit celle du vecteur vitesse, ce qui donne , puis , etc.

Remarque
Si la vitesse et l’accélération sont colinéaires, c’est-à-dire qu’ils ont la même direction, l’objet est en mouvement de translation rectiligne, mais pas uniforme.
Trajectoire

Enfin, on pourra tracer la trajectoire du point, et donc de l’objet.

La trajectoire de l’objet est la courbe qui relie l'ensemble des positions que le point représentant l’objet va occuper au cours du temps.
Exemple

Dans le repère orthonormé (Oxy) ci-dessus, le point M va successivement occuper les positions M0, M1, M2 et M3.
La trajectoire de l’objet peut donc être représentée par la courbe C.

c. Fonction position et fonction vitesse

Si la vitesse et/ou l'accélération ne sont pas toutes les deux nulles, alors la position de l’objet va évoluer au cours du temps.

Pour représenter cette évolution, on note :

  • le vecteur position initial  ;
  • la fonction qui représente le vecteur  en fonction du temps .

De même, si l'accélération n'est pas nulle, alors la vitesse de l’objet va évoluer au cours du temps.

Pour représenter cette évolution, on note :

  • le vecteur vitesse initial  ;
  • la fonction qui représente le vecteur en fonction du temps .
Remarques
  • Dans les problèmes étudiés au lycée, l'accélération est constante.
  • Quand l’accélération n’est pas donnée dans l’énoncé, on peut utiliser le principe fondamentale de la dynamique (PFD) pour la déterminer. On se sert alors de la masse de l’objet pour résoudre l’équation , qui devient .
2. Les équations horaires
a. Obtenir des équations horaires
En mécanique du point, les équations horaires sont les équations qui permettent de représenter l'évolution de la position et de la vitesse de l’objet au cours du temps.
Obtenir l’équation de la vitesse
La vitesse, au temps t, s'obtient en trouvant la primitive de l'accélération par rapport au temps, et en prenant comme constante d'intégration .

Si f(t=  alors sa primitive en fonction du temps vaut :

F(t= .

En prenant comme constante d'intégration, on obtient l’équation suivante.

avec :

  • le vecteur vitesse du point à l’instant t, en m·s1
  • l’accélération du point, en m·s2
  • t le temps écoulé depuis l’instant initial, en s
  • le vecteur vitesse initial, en m·s1
Obtenir l’équation de la position
La position, au temps t, s'obtient en trouvant la primitive de la vitesse par rapport au temps, et en prenant comme constante d'intégration .

Si f(t= , alors sa primitive en fonction du temps vaut :

F(t) = 

En prenant  comme constante d'intégration, on obtient l’équation suivante.

avec :

  •  le vecteur position du point à l’instant t, en m
  • l’accélération du point, en m·s2
  • t le temps écoulé depuis l’instant initial, en s
  • le vecteur vitesse initial, en m·s1
  •  le vecteur position initial du point, en m
b. Application des équations horaires – Exemple

Voici un exemple complet d’utilisation des équations horaires pour résoudre un problème de mécanique.

Problème

On étudie la chute d’un objet, à 7 m de hauteur et lancé avec une vitesse horizontale de 3 m·s1.

L’objet est modélisé par un point M. On est dans le cas d’un problème plan, de plan (Oxy). L’axe des abscisses (Ox) représente le sol. Enfin, on néglige le frottement de l’air et on considère que l’objet n’est soumis qu’à la force de pesanteur.

Remarque
Un problème plan est une situation dans laquelle les mouvements n'ont lieu que dans un plan de l’espace, on peut alors ignorer la troisième dimension.
Étape 1 – Déterminer les caractéristiques du point M.

On détermine graphiquement les caractéristiques du point M.

  • Vecteur position initial 
  • Vecteur vitesse initial
  • Vecteur accélération
Remarque
La valeur 9,81 vient de l’accélération de pesanteur à la surface de la Terre : g = 9,81 m·s2.
Étape 2 – Appliquer les équations horaires.

L’application des équations horaires permet de connaitre la vitesse et la position du point M au cours du temps.

Cela donne, sur l’axe  :

Cela donne, sur l’axe  :


Étape 3 – Calculer une valeur particulière de t.
Les équations horaires permettent de déterminer au bout de combien de temps l’objet touchera le sol. On recherche pour cela la valeur de t pour laquelle .

Cela revient ici à résoudre l’équation .

Il y a mathématiquement deux solutions et .

Physiquement, on s’intéresse à un événement qui se déroule après t = 0 s. On prend donc la solution positive : l’objet touche le sol au bout de 1,2 s.

Étape 4 – Calculer une vitesse à un instant t.

Lorsque l’objet touche le sol (en t = 1,2 s) sa vitesse sera alors de :

  •  m·s1 sur l’axe  ;

  •     m·s1 sur l’axe .

Soit :

Étape 5 – Calculer la distance parcourue.

Pour connaitre la distance parcourue par l’objet, on utilise l’équation horaire de la position sur l’axe  : .
À l’instant t = 1,2 s où l’objet touche le sol, on a :
 m.

Étape 6 – Dessiner la trajectoire.

On calcule les coordonnées de quelques positions de M(t), dans l’intervalle {; 1,2} de t.

On se sert des deux équations horaires de la position de M, trouvées précédemment :

t 0 0,3 0,6 0,9 1,2
x 0 0,9 1,8 2,7 3,6
y 7 6,6 5,2 3 0

On place ensuite les points trouvés dans le repère, puis on trace la courbe C qui représente la trajectoire de l’objet jusqu’à ce qu’il atteigne le sol.

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Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

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