Le principe fondamental de la dynamique
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- Connaitre le PFD, principe fondamental de la dynamique.
- Savoir appliquer le PFD à un solide en translation.
- Savoir appliquer le PFD à un solide en rotation.
- Comprendre ce qu’est le moment d’inertie.
- Lorsqu’un solide est en translation, la somme des forces extérieures auxquelles il est soumis est égale au produit de sa masse et de son accélération.
- Lorsqu’un solide est en rotation, la somme des couples auxquelles il est soumis est égale au produit de son moment d’inertie et de son accélération angulaire.
- Le moment d’inertie est une grandeur qui caractérise la manière dont la matière est répartie dans un solide, par rapport à un certain axe.
- Connaitre les lois du mouvement de Newton et ce qu’est un référentiel galiléen.
- Connaitre le principe fondamental de la statique (PFS).
- Connaitre les notions de mouvement de rotation et de translation.
Mathématiquement, on a la formule suivante.
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avec :
|
- Le PFD est une application directe de la deuxième loi de Newton qui dit : « Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice, et se font dans la ligne droite dans laquelle cette force a été imprimée. »
- Comme la deuxième loi de Newton, le PFD n’est applicable que dans les référentiels galiléens : un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel tous les objets libres (qui ne subissent aucune force) sont soit immobiles, soit en mouvement de translation rectiligne uniforme. En sciences de l’ingénieur, on travaille uniquement dans des référentiels galiléens.
Le principe fondamental de la statique (PFS) est un cas particulier du PFD, dans lequel l’accélération est nulle.
L’équation se transforme alors, pour le
PFS, en
.


Le PFD permet de déterminer l’accélération d’un solide en translation, lorsque l’on connait :
- les composantes de toutes les forces extérieures auxquelles le solide est soumis ;
- la masse du solide.
Dans la situation présentée précédemment, on sait que la masse de la voiture est de 1,6 tonnes.
On a également les informations suivantes sur les forces extérieures :
On peut donc déterminer l’accélération de la voiture.
- D’après le PFD, on a sur l’axe
:
Soit
m·s–2
- D’après le PFD, on a sur l’axe
:
Soit
m·s–2
Le PFD permet de calculer les composantes manquantes de certaines forces extérieures, lorsque l’on connait :
- les composantes des autres forces extérieures auxquelles le solide est soumis ;
- la masse du solide ;
- l’accélération du solide.
Dans la situation présentée précédemment, on sait que la masse de la voiture est de 1,6 tonnes et qu’elle accélère à –0,4 m·s–2 sur l’axe

On a également les informations suivantes sur les forces extérieures :
On peut donc déterminer les composantes de la
force
- D’après le PFD, on a
sur
:
Soit :
- D’après le PFD, on a
sur
:
Soit :
Mathématiquement, on a la formule suivante.
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avec :
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Une action mécanique produit ce qu’on appelle un moment. Le moment pousse le solide qui le subit à entrer en rotation autour d’un point. Ce point est appelé pivot. L’unité du moment est le N·m.
On retrouve un lien avec le principe fondamental de la statique (PFS), dans lequel l’accélération angulaire est nulle.
L’équation se transforme alors, pour le PFS,
en
Les problèmes étudiées au lycée permettent de simplifier l’expression du PFD grâce aux deux limitations suivantes.
- Le PFD est appliqué uniquement lorsqu’un solide est en rotation autour d’un axe fixe.
- L’axe de rotation passe par le centre de gravité du solide qui se trouve sur cet axe.
Un couple, ou couple de forces, est un ensemble de deux forces qui ont pour action de mettre en rotation un solide.
Mathématiquement, on a la formule suivante.
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avec :
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Le dessin ci-dessus présente le stator (0) d’un moteur.
Ce stator applique un couple à son rotor+axe (1), qui est solidaire d’une poulie (2). Enfin, une courroie (3) est entrainée par la poulie.
En appliquant le PFD à l’ensemble
{1+2}, autour de l’axe
(), on obtient
l’égalité suivante :

- Si il y a un déséquilibre entre les deux couples, il y a une accélération ou une décélération de la rotation de l’ensemble {1+2}.
- Si il y a équilibre entre les deux
couples :
- la vitesse de rotation reste constante si {1+2} est en rotation ;
- l’ensemble reste immobile si {1+2} est statique.
Le PFD permet de déterminer l’accélération angulaire d’un solide en rotation, lorsque l’on connait :
- les valeurs des couples auxquels le solide est soumis ;
- le moment d’inertie du solide.
Dans la situation présentée précédemment, on sait que le moment d’inertie de la poulie est de 0,008 kg·m2, que le couple du moteur vaut 2,15 N·m et que celui exercé par la courroie vaut –2,08 N·m.
On peut donc déterminer l’accélération angulaire de l’ensemble {1+2}.
D’après le PFD, on a autour de (


Soit

Le PFD permet de calculer les valeurs de certains couples, lorsque l’on connait :
- les valeurs des autres couples auxquels le solide est soumis ;
- l’accélération angulaire du solide ;
- le moment d’inertie du solide.
Dans la situation présentée précédemment, on sait que le moment d’inertie de la poulie est de 0,008 kg·m2, que le couple exercé par la courroie vaut –2,08 N·m et que l’accélération angulaire de {1+2} vaut –3,75 rad·s–2.
On peut donc déterminer le couple du moteur.
D’après le PFD, on a autour de (


Soit :

Le moment d’inertie d’un solide, autour d’un axe, a un impact sur la capacité du solide à être mis en rotation, à être accéléré, ou à être ralenti, autour de cet axe.
Le moment d’inertie est aux mouvements de rotation, ce que la masse est aux mouvements de translation.
- Un solide avec une masse importante est plus difficile à mettre en mouvement de translation, à accélérer ou à ralentir.
- Un solide avec un moment d’inertie important est plus difficile à mettre en mouvement de rotation, à accélérer ou à ralentir.
Le moment d’inertie d’un solide cylindrique, dont la masse est équitablement répartie dans tout son volume, tournant autour de son axe de révolution, vaudra

- m la masse du solide, en kg ;
- r le rayon du solide, en m.
Plus la forme du solide est complexe, plus le calcul de son moment d’inertie est compliquée, voire impossible. En sciences de l’ingénieur, on se limite à des formes simples (cylindres, sphères, barre) et la formule sera toujours donnée.
Le moment d’inertie d’un solide est moins important si la masse du solide est concentrée « au cœur » du solide, que si la masse du solide est concentrée « sur les bords » du solide.
Par exemple, un tube (cylindre creux) de 10 kg aura un moment d’inertie plus important qu’un cylindre plein de 10 kg.
On étudie les deux cylindres suivants.
Il y a :
- un cylindre plein de rayon r = 3 cm, de hauteur h = 16 cm et de masse m = 1,5 kg ;
- un cylindre creux de rayon extérieur rext= 7 cm, de rayon intérieur rint= 6 cm, de hauteur h = 16 cm et de masse m = 1,5 kg.
Les formules pour calculer leurs moments d’inertie sont :
-
pour le cylindre plein ;
-
pour le cylindre creux.
On obtient donc :
-
kg·m2 pour le cylindre plein ;
-
kg·m2 pour le cylindre creux.
Malgré une masse et une hauteur égales, le cylindre creux a donc un moment d’inertie presque 10 fois plus grand que le cylindre plein. Le cylindre creux sera donc plus difficile à mettre en mouvement de rotation que le cylindre plein.
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