Lycée > Terminale > Sciences de l’ingénieur > Le principe fondamental de la dynamique

Le principe fondamental de la dynamique

Fiche de cours
Quiz
Profs en ligne
Videos
Application mobile

Objectifs

Connaitre le PFD, principe fondamental de la dynamique.
Savoir appliquer le PFD à un solide en translation.
Savoir appliquer le PFD à un solide en rotation.
Comprendre ce qu’est le moment d’inertie.

Points clés

Lorsqu’un solide est en translation, la somme des forces extérieures auxquelles il est soumis est égale au produit de sa masse et de son accélération.
Lorsqu’un solide est en rotation, la somme des couples auxquelles il est soumis est égale au produit de son moment d’inertie et de son accélération angulaire.
Le moment d’inertie est une grandeur qui caractérise la manière dont la matière est répartie dans un solide, par rapport à un certain axe.

Pour bien comprendre

Connaitre les lois du mouvement de Newton et ce qu’est un référentiel galiléen.
Connaitre le principe fondamental de la statique (PFS).
Connaitre les notions de mouvement de rotation et de translation.

1. Un solide en translation

a. Énoncé du PFD en translation

Le principe fondamental de la dynamique (PFD) dit que lorsqu’un solide est en translation, la somme des forces extérieures auxquelles il est soumis est égale au produit de sa masse et de son accélération.

Mathématiquement, on a la formule suivante.

avec :

les forces extérieures, dont les composantes , et sont exprimées en Newton (N)
m la masse du solide, en kg
l’accélération du solide, dont les composantes , et sont exprimées en m·s^–²

Remarques

Le PFD est une application directe de la deuxième loi de Newton qui dit : « Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice, et se font dans la ligne droite dans laquelle cette force a été imprimée. »
Comme la deuxième loi de Newton, le PFD n’est applicable que dans les référentiels galiléens : un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel tous les objets libres (qui ne subissent aucune force) sont soit immobiles, soit en mouvement de translation rectiligne uniforme. En sciences de l’ingénieur, on travaille uniquement dans des référentiels galiléens.

Le principe fondamental de la statique (PFS) est un cas particulier du PFD, dans lequel l’accélération est nulle.

L’équation se transforme alors, pour le PFS, en .

Quand il y a un déséquilibre entre les forces extérieures, on se trouve dans le cas où le solide accélère ou freine.

Exemple

En appliquant le PFD à la situation ci-dessus, on obtient l’égalité suivante :

En observant la direction des forces extérieures appliquées à la voiture, on peut en déduire qu’il y a un déséquilibre des forces et que la voiture va accélérer vers la gauche.

b. Utilisation du PFD en translation

Déterminer l’accélération

Le PFD permet de déterminer l’accélération d’un solide en translation, lorsque l’on connait :

les composantes de toutes les forces extérieures auxquelles le solide est soumis ;
la masse du solide.

Exemple
Dans la situation présentée précédemment, on sait que la masse de la voiture est de 1,6 tonnes.

On a également les informations suivantes sur les forces extérieures :

On peut donc déterminer l’accélération de la voiture.

D’après le PFD, on a sur l’axe :

Soit m·s^–²
D’après le PFD, on a sur l’axe :

Soit m·s^–²

Calculer une force

Le PFD permet de calculer les composantes manquantes de certaines forces extérieures, lorsque l’on connait :

les composantes des autres forces extérieures auxquelles le solide est soumis ;
la masse du solide ;
l’accélération du solide.

Exemple
Dans la situation présentée précédemment, on sait que la masse de la voiture est de 1,6 tonnes et qu’elle accélère à –0,4 m·s^–² sur l’axe

.

On a également les informations suivantes sur les forces extérieures :

On peut donc déterminer les composantes de la force

D’après le PFD, on a sur :

Soit :
D’après le PFD, on a sur :

Soit :

2. Un solide en rotation

a. Énoncé du PFD en rotation

Le principe fondamental de la dynamique (PFD) dit que lorsqu’un solide est en rotation, la somme des moments des forces extérieures auxquelles il est soumis est égale au produit de son moment d’inertie et de son accélération angulaire.

Mathématiquement, on a la formule suivante.

avec :

les moments des forces extérieures, dont les composantes , et sont exprimées en N·m
le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation , en kg·m²
l’accélération angulaire du solide, dont les composantes , et sont exprimées en rad·s^–²

Rappel
Une action mécanique produit ce qu’on appelle un moment. Le moment pousse le solide qui le subit à entrer en rotation autour d’un point. Ce point est appelé pivot. L’unité du moment est le N·m.

Le moment d’inertie est une grandeur qui caractérise la manière dont la matière est répartie dans un solide, par rapport à un certain axe.

On retrouve un lien avec le principe fondamental de la statique (PFS), dans lequel l’accélération angulaire est nulle.

L’équation se transforme alors, pour le PFS, en

Quand il y a un déséquilibre entre les moments des forces extérieures, on se trouve dans le cas où la rotation du solide s’accélère ou ralentit.

b. Simplification du PFD en rotation

Les problèmes étudiées au lycée permettent de simplifier l’expression du PFD grâce aux deux limitations suivantes.

Le PFD est appliqué uniquement lorsqu’un solide est en rotation autour d’un axe fixe.
L’axe de rotation passe par le centre de gravité du solide qui se trouve sur cet axe.

La somme des moments de forces extérieures se résume donc à la somme de couples autour de l’axe de rotation.

Rappel
Un couple, ou couple de forces, est un ensemble de deux forces qui ont pour action de mettre en rotation un solide.

Mathématiquement, on a la formule suivante.

avec :

C les couples autour de l’axe de rotation, en N·m
le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation , en kg·m²
α l’accélération angulaire du solide autour de l’axe de rotation , en rad·s^–²

Exemple

Le dessin ci-dessus présente le stator (0) d’un moteur.
Ce stator applique un couple à son rotor+axe (1), qui est solidaire d’une poulie (2). Enfin, une courroie (3) est entrainée par la poulie.

En appliquant le PFD à l’ensemble {1+2}, autour de l’axe (), on obtient l’égalité suivante :

Si il y a un déséquilibre entre les deux couples, il y a une accélération ou une décélération de la rotation de l’ensemble {1+2}.
Si il y a équilibre entre les deux couples :
- la vitesse de rotation reste constante si {1+2} est en rotation ;
- l’ensemble reste immobile si {1+2} est statique.

c. Utilisation du PFD en rotation

Déterminer l’accélération angulaire

Le PFD permet de déterminer l’accélération angulaire d’un solide en rotation, lorsque l’on connait :

les valeurs des couples auxquels le solide est soumis ;
le moment d’inertie du solide.

Exemple
Dans la situation présentée précédemment, on sait que le moment d’inertie de la poulie est de 0,008 kg·m², que le couple du moteur vaut 2,15 N·m et que celui exercé par la courroie vaut –2,08 N·m.

On peut donc déterminer l’accélération angulaire de l’ensemble {1+2}.
D’après le PFD, on a autour de (

) :

Soit

rad·s^–²

Calculer un couple

Le PFD permet de calculer les valeurs de certains couples, lorsque l’on connait :

les valeurs des autres couples auxquels le solide est soumis ;
l’accélération angulaire du solide ;
le moment d’inertie du solide.

Exemple
Dans la situation présentée précédemment, on sait que le moment d’inertie de la poulie est de 0,008 kg·m², que le couple exercé par la courroie vaut –2,08 N·m et que l’accélération angulaire de {1+2} vaut –3,75 rad·s^–².

On peut donc déterminer le couple du moteur.
D’après le PFD, on a autour de (

) :

Soit :

3. Le moment d'inertie

a. Principe

Le moment d’inertie d’un solide, autour d’un axe, a un impact sur la capacité du solide à être mis en rotation, à être accéléré, ou à être ralenti, autour de cet axe.

Le moment d’inertie est aux mouvements de rotation, ce que la masse est aux mouvements de translation.

Un solide avec une masse importante est plus difficile à mettre en mouvement de translation, à accélérer ou à ralentir.
Un solide avec un moment d’inertie important est plus difficile à mettre en mouvement de rotation, à accélérer ou à ralentir.

Le moment d’inertie est une grandeur qui caractérise la manière dont la matière est répartie dans un solide, par rapport un certain axe.

Exemple
Le moment d’inertie d’un solide cylindrique, dont la masse est équitablement répartie dans tout son volume, tournant autour de son axe de révolution, vaudra

avec :

m la masse du solide, en kg ;
r le rayon du solide, en m.

Plus la forme du solide est complexe, plus le calcul de son moment d’inertie est compliquée, voire impossible. En sciences de l’ingénieur, on se limite à des formes simples (cylindres, sphères, barre) et la formule sera toujours donnée.

Remarque
Le moment d’inertie d’un solide est moins important si la masse du solide est concentrée « au cœur » du solide, que si la masse du solide est concentrée « sur les bords » du solide.
Par exemple, un tube (cylindre creux) de 10 kg aura un moment d’inertie plus important qu’un cylindre plein de 10 kg.

b. Calcul du moment d'inertie – Exemple

On étudie les deux cylindres suivants.

Il y a :

un cylindre plein de rayon r = 3 cm, de hauteur h = 16 cm et de masse m = 1,5 kg ;
un cylindre creux de rayon extérieur r_ext= 7 cm, de rayon intérieur r_int= 6 cm, de hauteur h = 16 cm et de masse m = 1,5 kg.

Les formules pour calculer leurs moments d’inertie sont :

pour le cylindre plein ;
pour le cylindre creux.

On obtient donc :

kg·m² pour le cylindre plein ;
kg·m² pour le cylindre creux.

Malgré une masse et une hauteur égales, le cylindre creux a donc un moment d’inertie presque 10 fois plus grand que le cylindre plein. Le cylindre creux sera donc plus difficile à mettre en mouvement de rotation que le cylindre plein.