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Le principe fondamental de la statique

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Objectifs
  • Connaitre le PFS, principe fondamental de la statique.
  • Identifier les situations d’usage du PFS.
  • Résoudre un problème de statique avec 2 forces ou 3 forces parallèles.
Points clés
  • Un solide se trouve à l’équilibre statique si ni lui, ni les les éléments qui le composent, sont en mouvement.
  • En équilibre statique, le PFS (principe fondamental de la statique) indique que la somme des forces est nulle, de même que la somme des moments est nulle.
  • Dans le cas des solides soumis à deux forces, ou trois forces parallèles, le PFS permet de directement déterminer les caractéristiques manquantes de certaines forces.
1. Action mécanique et moment (rappels)
a. Actions mécaniques

Il existe deux types d'actions mécaniques.

  • Les actions mécaniques de contact.
    Exemple
    Liaison pivot entre deux pièces.
  • Les actions mécaniques à distance.
    Exemples
    La gravité, l'électromagnétisme.

Pour noter une action mécanique, on utilise la notation suivante.

 

avec :

  • P le point d’application de l’action mécanique
  • S1 le solide qui produit l’action
  • S2 le solide qui subit l’action
Exemple
est l'action mécanique exercée au point A par la pièce 2 sur la pièce 3.

Graphiquement, une action mécanique sera représentée par une force, aussi appelée vecteur force.

La force qui modélise l’action mécanique est définie par :

  • son point d'application (son origine) ;
  • sa direction (horizontale, verticale, une droite, etc.) ;
  • son sens (vers le bas, vers la droite, de A à B, etc.) ;
  • sa norme ou son intensité, en Newton (N).
b. Moment
Une action mécanique produit ce qu’on appelle un moment.
Le moment pousse le solide qui le subit à entrer en rotation autour d’un point. Ce point est appelé pivot.
L’unité du moment est le N·m.

Un problème plan est une situation dans laquelle les actions mécaniques ne se produisent que dans un plan de l’espace. Les forces ont alors uniquement des composantes suivant deux axes, souvent et .

Remarque
Dans le cas d’un problème plan, le moment produit par une action mécanique est perpendiculaire au plan sur lequel les forces sont appliquées. Les moments se produisent donc uniquement autour de l’axe .

Le moment d’une action mécanique se note de la manière suivante.

 

avec :

  • l’action mécanique qui produit le moment 
  • S le point à partir duquel on observe le moment
Exemple
  est le moment qui résulte au point B, de l’action mécanique exercée au point A par la pièce 1 sur la pièce 5.

On peut observer l’effet produit par un moment en d’autres points que son pivot. Dans le cas d’un problème plan, on peut pour cela utiliser la formule du bras de levier pour calculer la valeur du moment au niveau du second point.

 

avec :

  • A le point initial dont on connait le moment
  • B le point dont on veut calculer le moment
  • l’action mécanique, et ses composantes sur et 
  •  et  les composantes sur et du vecteur 
Remarques
  • Au niveau de son point d’application, le moment d’une force est nul.
  • Dans cette formule, on se trouve dans le cas d’un problème plan, sur le plan (Oxy). Le moment est donc autour de l’axe , et on peut étudier uniquement sa composante sur cet axe, qui devient scalaire : d’où l’indice z après les M et la disparition de la flèche du vecteur au dessus des M.
Exemple
Sur le dessin ci-dessous, on s’intéresse à l’action mécanique représentée par le vecteur partant du point B.
Le moment de cette force, par rapport au point B est nul.
Si l’on souhaite déterminer le moment par rapport à un autre point, comme le point D par exemple, on va utiliser la formule du bras de levier.



 N·m
2. Le principe fondamental de la statique (PFS)
a. Énoncé du PFS
Un solide se trouve en équilibre statique si ni lui, ni les éléments qui le composent, sont en mouvement.
De manière plus formelle, cela revient à dire qu'un solide soumis à des forces extérieures est en équilibre si et seulement si :
  • la somme de ces forces est égale au vecteur nul :  ;
  • la somme des moments des ces forces, exprimés en un même point P, est égale au vecteur nul : .

On résume le PFS avec le torseur statique : 

.

Remarque
Le torseur statique est une manière de modéliser la force et le moment qui résultent d’une action mécanique lorsque l’on doit résoudre un problème de statique.

Ce torseur statique est aussi noté de la manière suivante, axe par axe :

La conséquence du PFS, d'un point de vue graphique est la suivante : si un solide (une pièce) est en équilibre, alors les vecteurs représentant les actions mécaniques qui s'appliquent au solide s’annulent si on les met bout à bout (c'est-à-dire qu'on doit revenir au point de départ).

b. Le PFS avec deux forces

Si un solide en équilibre est soumis à exactement deux actions mécaniques extérieures, alors ces deux actions mécaniques ont :

  • la même norme ;
  • la même direction ;
  • des sens opposés.

De plus, la droite qui relie les points d'origine de ces deux actions mécaniques est la direction de ces deux actions mécaniques.

Remarque
Dans ces circonstances, il est facile de déterminer les caractéristiques d'une force lorsqu'on connait l'autre.
Exemple
On étudie l’assemblage suivant.
On isole l’ensemble S = {1, 2} qui est composé du corps du vérin (1) et de sa tige (2). On juge son poids négligeable. Cet ensemble est donc soumis à deux actions mécaniques de contact notées et .

Le PFS donne : .

Ces actions mécaniques ont la même norme, la même direction (droite (AB)) mais sont de sens opposés.

Graphiquement, les deux vecteurs s’annulent.
Remarque
On peut aussi noter que, si un solide A exerce une action mécanique sur un solide B, alors le solide B exerce en retour une action mécanique sur le solide A.
Ces deux actions mécaniques auront la même intensité, la même direction mais seront de sens opposés. On a donc, par exemple . C’est le principe d’action-réaction.
c. Le PFS avec trois forces

Si un solide en équilibre est soumis à exactement trois actions mécaniques extérieures, alors ces trois actions mécaniques peuvent avoir des directions parallèles ou non parallèles.

Directions parallèles

Dans le cas où les trois actions mécaniques ont des directions parallèles, la somme des normes signées doit être nulle.

Remarque
La norme signée est la norme, accompagnée d’un signe (+ ou ) qui permet d’indiquer le sens du vecteur dont la norme est issue.

Dans ces circonstances, il est facile de déterminer les caractéristiques manquantes de certaines actions mécaniques à partir d’informations sur les autres actions mécaniques.

Exemple
On isole le tablier 2 (structure porteuse) du pont ci-dessous, qui est maintenu par les appuis 0 et 1.
Le tablier est soumis à deux actions mécaniques de contact notées et , ainsi qu’à l’action de la pesanteur .

Le PFS donne : .

Les trois forces sont toutes verticales, la somme de leurs normes signées sera donc nulle. On a ici .

Graphiquement, les trois vecteurs s’annulent.
Directions non parallèles

Dans le cas où les trois actions mécaniques ont des directions non parallèles, ces directions sont alors concourantes, c’est-à-dire qu’elles se croisent en un même point.

Il faut alors appliquer une méthode de résolution, graphique ou analytique, pour déterminer les caractéristiques manquantes de certaines actions mécaniques.

Exemple
On isole la biellette 3 ci-dessous.
On juge le poids de la biellette négligeable. Elle est donc soumise à trois actions mécaniques de contact notées , et .

Le PFS donne :
  • .
Ces actions mécaniques n’ont pas la même direction, mais leurs directions sont concourantes.

Graphiquement, si on met les trois vecteurs qui représentent les actions mécaniques bout à bout, ils s’annulent.

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