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Descente de charges : résoudre un problème

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Objectifs
  • Analyser les données d’un problème de dimensionnement de bâtiment.
  • Mener une descente de charges.
  • Vérifier le bon dimensionnement des éléments structuraux.
  • Vérifier que le bâtiment ne s’enfonce pas dans le sol.
Points clés
  • La descente de charges est l’étude du transfert des charges, du haut vers le bas, dans un bâtiment.
  • La capacité d’un élément structural à résister à une charge se détermine en comparant la contrainte σ qu’il subit avec sa limite d’élasticité Rec.
  • La capacité du sol à résister à l’enfoncement d’un élément se détermine en comparant la pression exercée sur le sol pélément/sol qu’il subit avec sa résistance à l’enfoncement Renf.
Pour bien comprendre
  • Structures porteuses
  • Charges et contraintes
  • Résistance des matériaux
1. La descente de charges
a. Principe
Dans un bâtiment, la transmission des efforts, du haut vers le bas de la structure porteuse, s'appelle la descente de charges.

La réalisation d’une descente de charges permet de dimensionner les éléments de la structure porteuse d’un bâtiment. Elle permet de choisir ou de contrôler si la forme, l’épaisseur et le matériau de chaque élément structural sont adaptés.

La descente de charges permet également de s’assurer que le bâtiment ne s’enfonce pas dans le sol.

b. Formules

Quelques formules sont nécessaires afin de mener une descente de charges.

La contrainte σ

La contrainte σ subie par un élément structural se calcule avec la formule suivante.

avec :

  • σ la contrainte subie par l’élément structural, en N·m2 ou en Pa
  • F la force de compression, en N
  • A est l’aire de la surface de la section de l’élément, en m2

Cette contrainte, multipliée par un coefficient de sécurité K, est ensuite comparée à la limite d’élasticité, Rec du matériau de l’élément.

Si  alors l’élément résiste.
La pression pélément/sol

La pression pélément/sol exercée par un élément sur le sol, qui peut faire s’enfoncer cet élément, se calcule avec la formule suivante.

avec :

  • pélément/sol la pression exercée par un élément sur le sol, en N·m2 ou en Pa
  • P le poids supporté par l’élément, en N
  • A l’aire de la surface en contact avec le sol de l’élément, en m2

Cette pression, multipliée par un coefficient de sécurité K, est ensuite comparée à la résistance à l’enfoncement du sol, Renf.

Si  alors l’élément ne s’enfonce pas.
2. Mener une descente de charges – Exemple

Voici un exemple complet pour comprendre comment mener une descente de charges.

a. L'analyse du problème
Objectif

On va effectuer une descente de charges sur la maison modélisée ci-dessous.

Les plans et les choix de matériaux sont déjà faits, l’objectif est de :

  • vérifier que les éléments structuraux de la maison pourront supporter les charges qu’ils vont subir, en tenant compte d’un coefficient de sécurité K = 1,5 ;
  • vérifier si le sol supportera le poids de la maison, avec un coefficient de sécurité K = 1,5.
Données sur les éléments structuraux
Élément Matériau Dimensions
(en m)
Masse
(en kg)
Toit Tuiles, chêne et pin Longueur : 12
Largeur : 6
Hauteur : 2
7400
Mur de façade Parpaing Longueur : 12
Largeur : 0,2
Hauteur : 2,4
 
Mur de pignon Parpaing Longueur : 6
Largeur : 0,2
Hauteur : 2,4
 
Dalle de fondation Béton Longueur : 14
Largeur : 8
Hauteur : 0,6
 
Remarque
On ne vérifie pas la résistance de la charpente.

Les matériaux utilisés ont les caractéristiques suivantes :

  • Parpaing : ρ = 1750 kg·m–3 et Rec= 40 MPa
  • Béton : ρ = 2300 kg·m–3 et Rec = 15 MPa
Rappels
  • ρ représente la masse volumique. En la multipliant par le volume d’un solide, on obtient sa masse en kg : M = ρ × V ;
  • Rec représente la limite d’élasticité du matériau, en Pascal (Pa).

On a les charges suivantes.

  • Surcharges d’exploitation, subies par la dalle de fondation : Q = 200 N·m2.
  • Surcharges climatiques liées à la neige, subies par le toit : S = 300 N·m2.

Enfin, la résistance à l’enfoncement dans le sol du sol est Renf= 0,3 MPa.

b. La descente de charges

Voici la méthode pour réaliser la descente de charges de cette maison. Le principe est de s’intéresser aux charges des différents éléments de la maison, du haut vers le bas.

Étape 1 – Calculer le poids de la neige.

La neige va se déposer sur le toit, on commence donc par calculer son poids.

Si on projette horizontalement le toit, il a une surface dont l’aire vaut :

Atoit= Ltoit × ltoit

Atoit= 12 × 6 = 72 m2

L’ensemble de la neige qui peut se déposer sur le toit a un poids Pneige.

Ce poids se calcule en multipliant la surface Atoit (m2) par la surcharge climatique S liée à la neige (en N·m2), qui représente le poids d’1 m2 de neige :

Pneige= Atoit × S

Pneige= 72 × 300 = 21 600 N

Étape 2 – Calculer le poids total du toit et de la neige.

Pour le toit, les données indiquent une masse de 7400 kg.

On a donc :

Ptoit= Mtoit × g

Ptoit= 7400 × 9,81 = 72 600 N

On a donc un poids total, pour la neige et le toit :

Pt+n = Ptoit + Pneige

Pt+n = 21 600 + 72 600  94 200 N

Étape 3 – Distribuer le poids sur les murs.

On détermine les zones d’influence de chaque mur en dessinant le schéma ci-dessous.

On calcule ensuite les aires des zones d’influence :

  • pour un mur de façade (plus grande longueur), dont la zone d’influence est un trapèze :

    AZI façade=  × h1

    AZI façade  × 3 =× 3 = 27 m2

  • pour un mur de pignon, dont la zone d’influence est un triangle :

    AZI pignon = 

    AZI pignon  = 9 m2

Chaque mur reçoit donc le poids suivant.

  • Pour un mur de façade :

    %ZI façade= 

    %ZI façade  = 0,375 = 37,5 % du poids de ce qui se trouve au-dessus de lui.

  • Pour un mur de pignon :

    %ZI pignon 

    %ZI pignon  = 0,125 = 12,5 % du poids de ce qui se trouve au-dessus de lui.

Étape 4 – Calculer les charges liées au toit et à la neige dans les murs.

Au niveau des aires des sections des murs, on a :

  • pour un mur de façade : Afaçade= L × l = 12 × 0,2 = 2,4 m2
  • pour un mur de pignon : Apignon = L × l = 6 × 0,2 = 1,2 m2

La contrainte σ dans ces murs, qui est due aux charges du toit et de la neige, sera donc :

  • pour un mur de façade :

    σt+n/façade= 

    σt+n/façade  14 700 Pa

  • pour un mur de pignon :

    σt+n/pignon = 

    σt+n/pignon =  9810 Pa

Étape 5 – Vérifier la résistance des murs.
On liste les contraintes et charges.

Chaque mur doit résister :

  • à une partie de la contrainte due au toit et de la neige σt+n/façade ou σt+n/pignon ;
  • à la charge permanente Gmur due au poids des parpaings.
Remarques 
  • Une charge, une contrainte et une pression représentent le même phénomène physique : une force qui s’applique sur une surface.
    C’est pour cela qu’elles ont la même unité, le Pa = N·m2, et qu’on peut les additionner et les comparer avec des inégalités.
  • Les charges sont notées avec une lettre majuscule :
    G (charge permanente), Q (surcharge d’exploitation), S (surcharge due à la neige) et W (surcharge due au vent).
  • Les contraintes à l’intérieur d’un matériau sont notées avec la lettre grecque sigma (σ).
  • Pour la pression sur le sol, on utilise la lettre minuscule p.
On calcule la charge manquante Gmur.

Comme les murs ont la même hauteur et sont faits du même matériau, la charge Gmur est la même pour les quatre murs (façade et pignon).

Elle peut se calculer en divisant le poids d’un mur par sa section.

Calcul de la masse Mfaçade d’un mur en parpaing (ici la façade)

Mfaçade= Vfaçade × ρparpaing

Mfaçade= Lfaçade × lfaçade × hfaçade × ρparpaing

Mfaçade= 12 × 0,2 × 2,4 × 1750  10 100 kg

Calcul du poids Pfaçade du mur

Pfaçade= M × g

Pfaçade  10 100 × 9,81  99 000 N

Calcul de la charge Gmur du mur

Gmur= 

Gmur =   41 300 Pa

On calcule la contrainte globale et on conclut sur la résistance.

On a donc les contraintes globales σ suivantes pour les murs.

  • Pour un mur de façade :

    σfaçade= σt+n/façade+ Gmur

    σfaçade= 14 700 + 41 300  56 000 Pa  56 kPa

  • Pour un mur de pignon :

    σpignon = σt+n/pignon + Gmur

    σpignon 9810 + 41 300 ≈ 51 100 Pa ≈ 51,1 kPa

En tenant compte du coefficient de sécurité K = 1,5, on a :

  • pour un mur de façade :

    σfaçade × K = 56 × 1,5 ≈ 84 kPa  40 MPa

  • pour un mur de pignon :

    σpignon × K = 51,1 × 1,5 ≈ 76,7 kPa  40 MPa

Les deux murs sont donc largement assez résistants.

Étape 6 – Vérifier la résistance de la dalle de fondation.
On liste les contraintes et charges.

La surface de la dalle vaut Adalle= 14 × 8 = 112 m2.

La dalle de fondation doit résister :

  • au poids du toit et de la neige, qui vaut Pt+n= 93 800 N, qui produira une contrainte σt+n/dalle ;
  • au poids des quatre murs P4murs, qui produiront une contrainte σ4murs/dalle ;
  • à la charge d’exploitation de la maison Q = 200 N·m2 ;
  • à sa propre charge permanente due au poids de la dalle Pdalle, qui produira une charge Gdalle.
On calcule les 3 contraintes ou charges manquantes σt+n/dalleσ4murs/dalle et Gdalle.

Calcul de la contrainte σt+n/dalle

σt+n/dalle =  = 841 Pa

Calcul de la contrainte σ4murs/dalle

Le poids des 4 murs (qui sont en parpaing) vaut :

P4murs= M4murs × g

P4murs = V4murs × ρparpaing × g

P4murs = L4murs × l4murs × h4murs × ρparpaing × g

P4murs = (2 × Lfaçade + 2 × lpignon× l4murs × h4murs × ρparpaing × g

P4murs  (2 × 12 +× 6) × 0,2 × 2,4 × 1750 × 9,81

P4murs  297 000 N

On peut ainsi calculer σ4murs/dalle :

σ4murs/dalle =   2650 Pa

Calcul de la charge Gdalle

Gdalle = 

Gdalle =   13 600 Pa

On calcule la contrainte globale et on conclut sur la résistance.

En sommant les différentes contraintes et charges subies par la dalle, on obtient une contrainte dans la dalle de :

σdalle = σt+n/dalle + σ4murs/dalle + Q + Gdalle

σdalle = 841 + 2650 + 200 + 13 600  17 300 Pa 17,3 kPa

En tenant compte du coefficient de sécurité K = 1,5, on a :

σdalle × K = 17,3 × 1,5  26 kPa  15 MPa

Remarque
Les symboles  et  peuvent être utilisés à la place de < et > pour mettre en évidence que la différence entre deux valeurs est très grande.

La dalle est donc largement assez résistante.

Étape 7 – Vérifier le non-enfoncement dans le sol.

La pression exercée par la structure sur le sol est égale à la contrainte dans la dalle : pstructure/sol= σdalle.

D’après les données, la résistance à l’enfoncement dans le sol est :

 = 0,3 MPa = 300 kPa.

pstructure/sol × K = 17,3 × 1,5  26 kPa

26 kPa < 300 kPa.

La maison ne s'enfoncera donc pas dans le sol.

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Question 1/5

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Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

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