Résoudre algébriquement une équation ou une inéquation avec les fonctions de référence
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Objectifs
- Maitriser les règles de calcul dans une équation et une inéquation.
- Résoudre algébriquement une équation ou une inéquation mettant en jeu la fonction affine.
- Résoudre algébriquement une équation ou une inéquation mettant en jeu la fonction carré.
- Résoudre algébriquement une équation ou une inéquation mettant en jeu la fonction inverse.
- Résoudre algébriquement une équation ou une inéquation mettant en jeu la fonction racine carrée.
Points clés
- Résoudre algébriquement
dans
une équation ou une
inéquation, c’est déterminer par le
calcul les éventuelles solutions réelles de
l’équation ou de l’inéquation.
- On peut additionner ou soustraire un même nombre de chaque membre d’une (in)égalité, l’(in)égalité reste vraie.
- On peut multiplier ou diviser par un même nombre chaque membre d’une (in)égalité, l’(in)égalité reste vraie.
- Lorsqu’on multiplie ou divise par un même nombre strictement négatif chaque membre d’une inégalité, on change le sens de l’inégalité.
- Pour résoudre une équation avec la
fonction affine, il faut isoler
d’un côté de
l’égalité. Pour cela, appliquer les
règles de calcul.
- Soit
. L’équation
admet dans 
:
- deux solutions,
et 
, si 
> 0 ;
- une seule solution qui vaut 0, si
= 0 ;
- aucune solution, si
< 0.
- deux solutions,
- Soit
un réel non nul.
L’équation 
admet dans 
une unique solution égale
à 
.
- Soit
. L’équation
admet dans 
:
- une seule solution qui vaut
, si 
> 0 ;
- une seule solution qui vaut 0, si
= 0 ;
- aucune solution, si
< 0.
- une seule solution qui vaut
1. Résolution algébrique d'une
équation ou d'une inéquation
a. Définition
Résoudre algébriquement dans
une équation ou une
inéquation, c’est déterminer
par le calcul les éventuelles solutions
réelles de l’équation ou de
l’inéquation.
une équation ou une
inéquation, c’est déterminer
par le calcul les éventuelles solutions
réelles de l’équation ou de
l’inéquation.
Remarques
- Dire qu’une valeur vérifie une
équation signifie qu’en
remplaçant l’inconnue
par cette valeur,
l’égalité est vraie.
- Dire qu’une valeur vérifie une
inéquation signifie qu’en
remplaçant l’inconnue
par cette valeur,
l’inégalité est vraie.
Exemples
3 est solution de l’équation
.
En effet,
.
2 est solution de l’inéquation
.
En effet,
et 
.
3 est solution de l’équation
.En effet,
. 2 est solution de l’inéquation
.En effet,
et .
b. Règles de calcul dans une équation
- On peut additionner ou soustraire un même nombre de chaque membre d’une égalité, l’égalité reste vraie.
- On peut multiplier ou diviser par un même nombre chaque membre d’une égalité, l’égalité reste vraie.
Exemples
2
+ 3 = 7 
2 + 3 – 3 = 7 – 3 
2 = 4
2
+ 3 = 7 2 + 3 – 3 = 7 – 3 2 = 4
× 6 = 8 × 6 
3
= 48
c. Règles de calcul dans une
inéquation
- On peut additionner ou soustraire un même nombre de chaque membre d’une inégalité, l’inégalité reste vraie.
- On peut multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif chaque membre d’une inégalité, l’inégalité reste vraie.
Exemples
+ 4 < 5 + 4 
× 6 ≥
8 × 6 
+ 4 < 5 + 4 × 6 ≥
8 × 6
Lorsqu’on multiplie ou divise par un même
nombre strictement négatif chaque membre
d’une inégalité, on change le sens
de l’inégalité.
Exemple
2. Fonction affine
a. Résolution d'une équation avec la
fonction affine
Méthode
Pour résoudre une équation avec la
fonction affine, il faut isoler 
d’un côté de
l’égalité. Pour cela, appliquer les
règles de calcul de la partie 1.
Exemples
+ 5 = 3 + 5 
– 7 = 42 – 7
× (–1) = 35 × (–1) 
= –35
+ 5 = 3 + 5 – 7 = 42 – 7 × (–1) = 35 × (–1) = –35
b. Résolution d'une inéquation avec la
fonction affine
Méthode
Pour résoudre une inéquation avec la
fonction affine, il faut isoler 
d’un côté de
l’inégalité. Pour cela, appliquer
les règles de calcul de la partie 1.
Remarques
- Lorsqu’on utilise le signe ≤
ou ≥ dans une inéquation, on dit que
l’inégalité est large.
Dans l’ensemble de solutions, cela se traduit
par des crochets fermés aux bornes finies de
l’intervalle. Par exemple,
.
- Lorsqu’on utilise le signe <
ou > dans une inéquation, on dit que
l’inégalité est stricte.
Dans l’ensemble de solutions, cela se traduit
par des crochets ouverts aux bornes finies de
l’intervalle. Par exemple,
.
- Dans l’ensemble de solutions, les crochets
sont toujours ouverts au niveau de
et 
. Par exemple,
.
Exemples
- On veut résoudre dans
l’inéquation 
.
On utilise les règles de calcul pour isoler
:
– 2 ≥ 4 – 2 
Donc l’inéquation admet dans
l’ensemble de
solutions 
.
- On veut résoudre dans
l’inéquation 
.
.
Donc l’inéquation admet dans
l’ensemble de
solutions 
.
- On veut résoudre dans
l’inéquation 
.
Donc l’inéquation admet dans
l’ensemble de
solutions 
.
3. Fonction carré
a. Résolution d'une équation avec la
fonction carré
Soit 
. L’équation 
admet dans 
:
. L’équation admet dans :
- deux solutions,
et 
, si 
;
- une seule solution qui vaut 0,
si
;
- aucune solution, si
.
Exemples sans règles de calcul
-
ou 
-
-
n’admet pas de solution
dans 
. En effet, le
carré d’un nombre est toujours positif
ou nul.
Exemple avec les règles de calcul
On veut résoudre dans
l’équation 
. On utilise les
règles de calcul pour obtenir une
équation de la forme 
:
– 7 = 11 – 7 
. 4 > 0, donc
l’équation admet deux solutions dans
: 
ou 
.
On veut résoudre dans
l’équation . On utilise les
règles de calcul pour obtenir une
équation de la forme : – 7 = 11 – 7 . 4 > 0, donc
l’équation admet deux solutions dans
: ou .
b. Résolution d'une inéquation avec la
fonction carré
Soit 
.
.
- Si
, l’inéquation 
admet dans 
l’ensemble de
solutions 
.
- Si
, l’inéquation 
admet
dans 
l’ensemble de
solutions 
.
- Si
, l’inéquation 
n’admet pas de solution
dans 
.
- Si
, l’inéquation 
admet
dans 
l’ensemble de
solutions 
.
Remarques
- Lorsqu’on utilise le signe ≤
ou ≥ dans une inéquation, on dit que
l’inégalité est large.
Dans l’ensemble de solutions, cela se traduit
par des crochets fermés aux bornes de
l’intervalle. Par exemple,
.
- Lorsqu’on utilise le signe <
ou > dans une inéquation, on dit que
l’inégalité est stricte.
Dans l’ensemble de solutions, cela se traduit
par des crochets ouverts aux bornes de
l’intervalle. Par exemple,
.
- Dans l’ensemble de solutions, les crochets
sont toujours ouverts au niveau de
et 
. Par exemple,
.
Exemples sans règles de calcul
-
-
-
-
n’admet pas de
solution dans 
. En effet, le
carré d’un nombre est toujours positif
ou nul.
Exemple avec les règles de calcul
On veut résoudre dans
l’inéquation
.
On utilise les règles de calcul pour obtenir une équation de la forme
:
+ 1 > 9 + 1 
5 > 0, donc l’inéquation admet dans
l’ensemble de
solutions 
.
On veut résoudre dans
l’inéquation
.On utilise les règles de calcul pour obtenir une équation de la forme
: + 1 > 9 + 1 5 > 0, donc l’inéquation admet dans
l’ensemble de
solutions .
4. Fonction inverse
a. Résolution d'une équation avec la
fonction inverse
Soit 
un réel non nul.
L’équation
admet dans 
une unique solution
égale à 
.
un réel non nul.L’équation
admet dans une unique solution
égale à .
Exemples sans règles de calcul
-
-
n’admet pas de solution
dans 
. En effet, il n’existe aucune valeur
de 
dont l’inverse
est nul.
Exemple avec les règles de calcul
On veut résoudre dans
l’équation 
.
On utilise les règles de calcul pour obtenir une équation de la forme
:
– 2 = 8 – 2 
6 ≠ 0, donc l’équation admet une unique solution dans
, qui vaut 
.
On veut résoudre dans
l’équation .On utilise les règles de calcul pour obtenir une équation de la forme
: – 2 = 8 – 2 6 ≠ 0, donc l’équation admet une unique solution dans
, qui vaut .
b. Résolution d'une inéquation avec la
fonction inverse
Remarque
Pour la résolution d’une inéquation avec la fonction inverse, il est plus facile de travailler avec la représentation graphique.
Pour la résolution d’une inéquation avec la fonction inverse, il est plus facile de travailler avec la représentation graphique.
Soit 
un réel non nul.
un réel non nul.- Si
,
l’inéquation 
admet dans 
l’ensemble de
solutions 
.
- Si , l’inéquation
admet dans l’ensemble de
solutions 
.
- Si
, l’inéquation admet dans
l’ensemble de
solutions 
.
- Si ,
l’inéquation
admet dans l’ensemble de
solutions 
.
Exemples sans règles de calcul
Exemple avec les règles de calcul
On veut résoudre dans
l’inéquation 
.
On utilise les règles de calcul pour obtenir une inéquation de la forme
:
– 1 > 3 – 1 
> 2 
Donc l’inéquation admet dans
l’ensemble de solutions
.
On veut résoudre dans
l’inéquation .On utilise les règles de calcul pour obtenir une inéquation de la forme
: – 1 > 3 – 1 > 2 Donc l’inéquation admet dans
l’ensemble de solutions
.
5. Fonction racine carrée
a. Résolution d'une équation avec la
fonction racine carrée
Soit .
L’équation 
admet dans 
:
.
L’équation admet dans :
- une seule solution qui vaut
, si 
;
- une seule solution qui vaut 0,
si
;
- aucune solution, si
.
Exemples
n’admet pas de solution dans 
. En effet, la racine d’un
nombre est toujours positive ou nulle.
n’admet pas de solution dans . En effet, la racine d’un
nombre est toujours positive ou nulle.
b. Résolution d'une inéquation avec la
fonction racine carrée
Soit 
un réel non nul.
Si
:
un réel non nul.Si
:
- l’inéquation
admet dans 
l’ensemble de
solutions 
;
- l’inéquation
admet dans
l’ensemble de
solutions 
.
Si 
:
- l’inéquation
n’admet pas de solution dans
;
- l’inéquation
admet dans 
l’ensemble de
solutions 
.
Exemples sans règles de calcul
-
-
-
n’admet pas de solution dans
. En effet, la racine
d’un nombre est toujours positive ou nulle.
Exemple avec les règles de calcul
On veut résoudre dans l’intervalle
l’inéquation 
.
On utilise les règles de calcul :
– 2 > 6 – 2 
Donc l’ensemble des solutions dans
est 
.
On veut résoudre dans l’intervalle
l’inéquation .On utilise les règles de calcul :
– 2 > 6 – 2 Donc l’ensemble des solutions dans
est .
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