Résoudre algébriquement une équation ou une inéquation avec les fonctions de référence - Maxicours

Résoudre algébriquement une équation ou une inéquation avec les fonctions de référence

Objectifs
  • Maitriser les règles de calcul dans une équation et une inéquation.
  • Résoudre algébriquement une équation ou une inéquation mettant en jeu la fonction affine.
  • Résoudre algébriquement une équation ou une inéquation mettant en jeu la fonction carré.
  • Résoudre algébriquement une équation ou une inéquation mettant en jeu la fonction inverse.
  • Résoudre algébriquement une équation ou une inéquation mettant en jeu la fonction racine carrée.
Points clés
  • Résoudre algébriquement dans  une équation ou une inéquation, c’est déterminer par le calcul les éventuelles solutions réelles de l’équation ou de l’inéquation.
  • On peut additionner ou soustraire un même nombre de chaque membre d’une (in)égalité, l’(in)égalité reste vraie.
  • On peut multiplier ou diviser par un même nombre chaque membre d’une (in)égalité, l’(in)égalité reste vraie.
  • Lorsqu’on multiplie ou divise par un même nombre strictement négatif chaque membre d’une inégalité, on change le sens de l’inégalité.
  • Pour résoudre une équation avec la fonction affine, il faut isoler d’un côté de l’égalité. Pour cela, appliquer les règles de calcul.
  • Soit . L’équation admet dans  :
    • deux solutions, et , si  > 0 ;
    • une seule solution qui vaut 0, si  = 0 ;
    • aucune solution, si  < 0.
  • Soit un réel non nul. L’équation admet dans une unique solution égale à  .
  • Soit . L’équation admet dans  :
    • une seule solution qui vaut , si  > 0 ;
    • une seule solution qui vaut 0, si  = 0 ;
    • aucune solution, si  < 0.
1. Résolution algébrique d'une équation ou d'une inéquation
a. Définition
Résoudre algébriquement dans une équation ou une inéquation, c’est déterminer par le calcul les éventuelles solutions réelles de l’équation ou de l’inéquation.
Remarques
  • Dire qu’une valeur vérifie une équation signifie qu’en remplaçant l’inconnue par cette valeur, l’égalité est vraie.
  • Dire qu’une valeur vérifie une inéquation signifie qu’en remplaçant l’inconnue par cette valeur, l’inégalité est vraie.
Exemples
3 est solution de l’équation .
En effet, 
2 est solution de l’inéquation .
En effet,  et .
b. Règles de calcul dans une équation
  • On peut additionner ou soustraire un même nombre de chaque membre d’une égalité, l’égalité reste vraie.
  • On peut multiplier ou diviser par un même nombre chaque membre d’une égalité, l’égalité reste vraie.
Exemples
2+ 3 = 7  2 + 3 – 3 = 7 – 3  2 = 4

  × 6 = 8  × 6  3 = 48

c. Règles de calcul dans une inéquation
  • On peut additionner ou soustraire un même nombre de chaque membre d’une inégalité, l’inégalité reste vraie.
  • On peut multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif chaque membre d’une inégalité, l’inégalité reste vraie.
Exemples
 + 4 < 5 + 4 
 × 6 ≥ 8 × 6 
Lorsqu’on multiplie ou divise par un même nombre strictement négatif chaque membre d’une inégalité, on change le sens de l’inégalité.
Exemple
2. Fonction affine
a. Résolution d'une équation avec la fonction affine
Méthode

Pour résoudre une équation avec la fonction affine, il faut isoler  d’un côté de l’égalité. Pour cela, appliquer les règles de calcul de la partie 1.

Exemples
 + 5 = 3 + 5 
 – 7 = 42 – 7 
 × (–1) = 35  × (–1)  = –35
b. Résolution d'une inéquation avec la fonction affine
Méthode

Pour résoudre une inéquation avec la fonction affine, il faut isoler  d’un côté de l’inégalité. Pour cela, appliquer les règles de calcul de la partie 1.

Remarques
  • Lorsqu’on utilise le signe ≤ ou ≥ dans une inéquation, on dit que l’inégalité est large. Dans l’ensemble de solutions, cela se traduit par des crochets fermés aux bornes finies de l’intervalle. Par exemple, .
  • Lorsqu’on utilise le signe < ou > dans une inéquation, on dit que l’inégalité est stricte. Dans l’ensemble de solutions, cela se traduit par des crochets ouverts aux bornes finies de l’intervalle. Par exemple, .
  • Dans l’ensemble de solutions, les crochets sont toujours ouverts au niveau de  et . Par exemple, .
Exemples
  • On veut résoudre dans  l’inéquation .
    On utilise les règles de calcul pour isoler  :
     – 2 ≥ 4 – 2 
    Donc l’inéquation admet dans  l’ensemble de solutions .
  • On veut résoudre dans  l’inéquation .
    .
    Donc l’inéquation admet dans  l’ensemble de solutions .
  • On veut résoudre dans  l’inéquation .

    Donc l’inéquation admet dans  l’ensemble de solutions .
3. Fonction carré
a. Résolution d'une équation avec la fonction carré
Soit . L’équation  admet dans  :
  • deux solutions,  et , si  ;
  • une seule solution qui vaut 0, si  ;
  • aucune solution, si .
Exemples sans règles de calcul
  •  ou 
  •  n’admet pas de solution dans . En effet, le carré d’un nombre est toujours positif ou nul.
Exemple avec les règles de calcul
On veut résoudre dans  l’équation . On utilise les règles de calcul pour obtenir une équation de la forme  :
 – 7 = 11 – 7 . 4 > 0, donc l’équation admet deux solutions dans  :  ou .
b. Résolution d'une inéquation avec la fonction carré
Soit .
  • Si , l’inéquation  admet dans  l’ensemble de solutions .
  • Si , l’inéquation admet dans  l’ensemble de solutions .
  • Si , l’inéquation  n’admet pas de solution dans .
  • Si , l’inéquation admet dans  l’ensemble de solutions .
Remarques
  • Lorsqu’on utilise le signe ≤ ou ≥ dans une inéquation, on dit que l’inégalité est large. Dans l’ensemble de solutions, cela se traduit par des crochets fermés aux bornes de l’intervalle. Par exemple, .
  • Lorsqu’on utilise le signe < ou > dans une inéquation, on dit que l’inégalité est stricte. Dans l’ensemble de solutions, cela se traduit par des crochets ouverts aux bornes de l’intervalle. Par exemple,
  • Dans l’ensemble de solutions, les crochets sont toujours ouverts au niveau de et . Par exemple, .
Exemples sans règles de calcul
  • n’admet pas de solution dans . En effet, le carré d’un nombre est toujours positif ou nul.
Exemple avec les règles de calcul
On veut résoudre dans  l’inéquation .
On utilise les règles de calcul pour obtenir une équation de la forme  :
 + 1 > 9 + 1 

5 > 0, donc l’inéquation admet dans  l’ensemble de solutions .
4. Fonction inverse
a. Résolution d'une équation avec la fonction inverse
Soit un réel non nul.
L’équation admet dans une unique solution égale à .
Exemples sans règles de calcul
  •  n’admet pas de solution dans . En effet, il n’existe aucune valeur de  dont l’inverse est nul.
Exemple avec les règles de calcul
On veut résoudre dans  l’équation .
On utilise les règles de calcul pour obtenir une équation de la forme  :
 – 2 = 8 – 2 
6 ≠ 0, donc l’équation admet une unique solution dans , qui vaut .
b. Résolution d'une inéquation avec la fonction inverse
Remarque
Pour la résolution d’une inéquation avec la fonction inverse, il est plus facile de travailler avec la représentation graphique.
Soit un réel non nul.
  • Si , l’inéquation  admet dans  l’ensemble de solutions .

  • Si , l’inéquation  admet dans l’ensemble de solutions .

  • Si , l’inéquation admet dans l’ensemble de solutions .

  • Si , l’inéquation  admet dans l’ensemble de solutions .

Exemples sans règles de calcul
Exemple avec les règles de calcul
On veut résoudre dans  l’inéquation .
On utilise les règles de calcul pour obtenir une inéquation de la forme  :
 – 1 > 3 – 1 
  > 2 
Donc l’inéquation admet dans l’ensemble de solutions .
5. Fonction racine carrée
a. Résolution d'une équation avec la fonction racine carrée
Soit . L’équation  admet dans  :
  • une seule solution qui vaut , si  ;
  • une seule solution qui vaut 0, si  ;
  • aucune solution, si .
Exemples

 n’admet pas de solution dans . En effet, la racine d’un nombre est toujours positive ou nulle.
b. Résolution d'une inéquation avec la fonction racine carrée
Soit un réel non nul.
Si  :
  • l’inéquation  admet dans l’ensemble de solutions  ;
  • l’inéquation admet dans l’ensemble de solutions .

Si  :

  • l’inéquation  n’admet pas de solution dans  ;
  • l’inéquation  admet dans l’ensemble de solutions .
Exemples sans règles de calcul
  •  n’admet pas de solution dans . En effet, la racine d’un nombre est toujours positive ou nulle.
Exemple avec les règles de calcul
On veut résoudre dans l’intervalle l’inéquation .
On utilise les règles de calcul :
 – 2 > 6 – 2 

Donc l’ensemble des solutions dans est .

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