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Réaliser et exploiter une chronophotographie, déterminer les vecteurs vitesse et accélération

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Objectifs

Réaliser et/ou exploiter expérimentalement une vidéo ou une chronophotographie pour déterminer les coordonnées du vecteur position en fonction du temps.
En déduire les coordonnées approchées ou les représentations des vecteurs vitesse et accélération.

Points clés

Faire la chronophotographie du mouvement d’un système correspond à mettre les positions successives du système à des intervalles de temps réguliers et petits sur une même photographie.
Le vecteur vitesse d’un point M en mouvement est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position .
On le détermine de manière approchée avec la chronophotographie, à partir de deux positions successives du point M, M_i et M_i₊₁.

Le vecteur accélération d’un point M en mouvement est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse .
On le détermine de manière approchée avec la chronophotographie, à partir de deux vecteurs vitesse successifs, et .

Pour bien comprendre

Vecteurs position, vitesse et accélération

1. La réalisation d'une chronophotographie

Lors du mouvement d’un système, on peut réaliser une chronophotographie.

Réaliser une chronophotographie consiste à prendre des photographies successives du système à des intervalles de temps réguliers et petits, puis à rassembler toutes les prises de vue sur une seule et même photographie.

Chronophotographie d'un skieur

Remarque
Le choix de la valeur de l’intervalle de temps entre deux photographies successives est fait en fonction de la durée du mouvement.

Une fois la chronophotographie réalisée, on choisit un des points du système en mouvement étudié, et on relève ses positions successives que l’on place dans un repère . Il s’agit d’une étape de pointage.

Passage de la chronophotographie
aux positions d’un point M dans un repère

On peut alors déterminer le vecteur position pour chaque point de la trajectoire du point M.

Vecteurs position du point M

2. Déterminer des vecteurs vitesse et accélération

À partir de la chronophotographie, on peut déterminer les vecteurs vitesse et accélération en chaque point de la trajectoire du point M repéré.

a. Le vecteur vitesse

Le vecteur vitesse

d’un point M en mouvement est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position

Ce vecteur est tangent à la trajectoire au point M, et est dirigé dans le sens du mouvement.

On peut déterminer ce vecteur de manière approchée avec la chronophotographie, à partir de deux positions successives du point M, que l’on nommera M_i et M_i₊₁.

Point mathématique
Voici quelques relations vectorielles qui sont à connaitre.

Vecteurs opposés

Relation de Chasles

Remarque
On fait l’approximation qui consiste à assimiler le vecteur vitesse moyenne entre deux points successifs M_i et M_i₊₁, avec le vecteur vitesse au point M_i.
Cette approximation est valable à condition que l’intervalle de temps Δt soit suffisamment petit (de l’ordre de la milliseconde ou de la microseconde).

Le vecteur vitesse est colinéaire au vecteur déplacement : il a le même sens et la même direction.

Tracé de vecteurs vitesse
à partir d’une chronophotographie

Les coordonnées du vecteur vitesse dans le repère peuvent être calculées à partir de celles du point M.

avec :

v_ix et v_iy les coordonnées du vecteur vitesse, en m·s^–¹
x_M_i, x_M_i+1, y_M_i et y_M_i+1, les coordonnées du point M à un instant donné i et i + 1, en m
t l’instant étudié, en s

Conversions à connaitre

1 ms = 1 × 10^–³ s ; 1 μs = 1 × 10^–⁶ s ; 1 ns = 1 × 10^–⁹ s
1 cm = 1 × 10^–² m ; 1 mm = 1 × 10^–³ m ; 1 μm = 1 × 10^–⁶ m

b. Le vecteur accélération

Le vecteur accélération

d’un point M en mouvement est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse

On peut déterminer ce vecteur de manière approchée avec la chronophotographie, à partir de deux positions successives du point M, que l’on nommera M_i et M_i₊₁, pour lesquelles on a les vecteurs vitesses et .

On obtient alors le vecteur accélération au point M_i.

Tracé de vecteurs accélération
à partir d’une chronophotographie

Les coordonnées du vecteur accélération dans le repère peuvent être calculées à partir de celles du vecteur vitesse.

avec :

a_i+₁_x et a_i+₁_y les coordonnées du vecteur accélération, en m·s^–²
v_ix, v_i+₁_x, v_iy et v_i+₁_y les coordonnées du vecteur vitesse à un instant donné i et i+1, en m·s^–¹
t l’instant étudié, en s