Puissances et notation scientifique - Maxicours

Puissances et notation scientifique

Objectifs
► Prérequis
• Calculer avec les nombres entiers (multiplication et division)
• Calculer avec les nombres relatifs (multiplication et division)
• Calculer avec les fractions
• L'inverse d’une fraction
• Le calcul mental
• Les diviseurs et multiples

► Attendus
• Définir les puissances d’un nombre entier relatif
• Définir les puissances de 10 et ses propriétés
• Écrire un nombre avec la notation scientifique
• Effectuer des calculs simples sur les puissances
1. SAVOIR
a. Définition
L’écriture des nombres très grands ou très petits avec les puissances de 10, notamment en utilisant la notation scientifique, permet de raccourcir leur écriture et de simplifier les calculs.
b. Règles
► Définition des puissances d’un nombre entier relatif
Pour un nombre entier relatif a et un entier naturel n ≥ 1, on note : .
est l’inverse de , donc (a non nul).

Par convention, on a : .
L'entier naturel n s'appelle l’exposant, et  se prononce « a puissance n ».

► Définition des puissances de 10
Pour un entier naturel n ≥ 1, en prenant a = 10, on a :
  •  ;
  •  ;
  • .

► Propriétés des puissances de 10
Pour tous les nombres entiers relatifs m et n :
  •  ;
  •  ;
  • .

► Notation scientifique
La notation scientifique d’un nombre est celle sous la forme  avec a un nombre qui vérifie  et n un nombre entier relatif.
2. SAVOIR-FAIRE
► Effectuer des calculs avec les puissances de 10
Exemples :
.
.

► Écrire un nombre avec la notation scientifique
Exemple : Écrire  avec la notation scientifique.
donc .
Le nombre s’écrit avec la notation scientifique .

► Décomposer un entier en produits de facteurs premiers en utilisant les puissances
Exemple : Décomposer 6 600 en produits de facteurs premiers.

En utilisant les puissances, on écrit : .
3. À RETENIR
a. Glossaire
Nombres entiers relatifs : Les nombres entiers naturels sont les nombres qui permettent de compter : 0, 1, 2, 3, 4, etc. Les nombres entiers sont composés des nombres entiers naturels et de leur opposé (–1, –2, –3, –4, etc.).
Divisibilité : Un entier naturel a est divisible par un entier naturel b si on a k est un entier naturel. On dit aussi que b est diviseur de a.
Nombres premiers : Nombre supérieur ou égal à 2 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
b. Formules clés
Définition des puissances d’un nombre entier relatif :
Pour un nombre entier relatif a et un entier naturel ≥ 1 :
  •  ;
  • (a non nul) ;
  • .
Pour a = 10 :
  •  ;
  •  ;
  • .

Propriétés des puissances de 10 :
Pour tous les nombres entiers relatifs m et n :
  •  ;
  •  :
  • .

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