Puissances et notation scientifique
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Objectifs
► Prérequis
• Calculer avec les nombres entiers (multiplication et division)
• Calculer avec les nombres relatifs (multiplication et division)
• Calculer avec les fractions
• L'inverse d’une fraction
• Le calcul mental
• Les diviseurs et multiples
► Attendus
• Définir les puissances d’un nombre entier relatif
• Définir les puissances de 10 et ses propriétés
• Écrire un nombre avec la notation scientifique
• Effectuer des calculs simples sur les puissances
• Calculer avec les nombres entiers (multiplication et division)
• Calculer avec les nombres relatifs (multiplication et division)
• Calculer avec les fractions
• L'inverse d’une fraction
• Le calcul mental
• Les diviseurs et multiples
► Attendus
• Définir les puissances d’un nombre entier relatif
• Définir les puissances de 10 et ses propriétés
• Écrire un nombre avec la notation scientifique
• Effectuer des calculs simples sur les puissances
1. SAVOIR
a. Définition
L’écriture des nombres très grands ou
très petits avec les puissances de 10, notamment
en utilisant la notation scientifique, permet de
raccourcir leur écriture et de simplifier les
calculs.
b. Règles
► Définition des puissances
d’un nombre entier relatif
Pour un nombre entier relatif a et un entier naturel n ≥ 1, on note :
.
est l’inverse
de 
, donc 
(a non nul).
Par convention, on a :
.
L'entier naturel n s'appelle l’exposant, et
se prononce « a
puissance n ».
► Définition des puissances de 10
Pour un entier naturel n ≥ 1, en prenant a = 10, on a :
► Propriétés des puissances de 10
Pour tous les nombres entiers relatifs m et n :
► Notation scientifique
La notation scientifique d’un nombre est celle sous la forme
avec a un nombre
qui vérifie 
et n un nombre
entier relatif.
Pour un nombre entier relatif a et un entier naturel n ≥ 1, on note :
. est l’inverse
de , donc (a non nul).Par convention, on a :
.L'entier naturel n s'appelle l’exposant, et
se prononce « a
puissance n ».► Définition des puissances de 10
Pour un entier naturel n ≥ 1, en prenant a = 10, on a :
-
;
-
;
-
.
► Propriétés des puissances de 10
Pour tous les nombres entiers relatifs m et n :
-
;
-
;
-
.
► Notation scientifique
La notation scientifique d’un nombre est celle sous la forme
avec a un nombre
qui vérifie et n un nombre
entier relatif.
2. SAVOIR-FAIRE
► Effectuer des calculs avec les puissances
de 10
► Écrire un nombre avec la notation scientifique
► Décomposer un entier en produits de facteurs premiers en utilisant les puissances
Exemples :
.
.
..
► Écrire un nombre avec la notation scientifique
Exemple : Écrire 
avec la notation scientifique.
donc 
.
Le nombre
s’écrit avec la notation
scientifique 
.
avec la notation scientifique.
donc .Le nombre
s’écrit avec la notation
scientifique .
► Décomposer un entier en produits de facteurs premiers en utilisant les puissances
Exemple : Décomposer 6 600 en produits
de facteurs premiers.
En utilisant les puissances, on écrit :
.
En utilisant les puissances, on écrit :
.
3. À RETENIR
a. Glossaire
Nombres entiers relatifs : Les nombres entiers naturels
sont les nombres qui permettent de compter : 0, 1, 2,
3, 4, etc. Les nombres entiers sont composés des
nombres entiers naturels et de leur opposé
(–1, –2, –3, –4, etc.).
Divisibilité : Un entier naturel a est
divisible par un entier naturel b si on a
où k est un
entier naturel. On dit aussi que b est diviseur
de a.
où k est un
entier naturel. On dit aussi que b est diviseur
de a.
Nombres premiers : Nombre supérieur ou
égal à 2 qui n'a que deux diviseurs : 1
et lui-même.
b. Formules clés
Définition des puissances d’un nombre
entier relatif :
Pour un nombre entier relatif a et un entier naturel n ≥ 1 :
Propriétés des puissances de 10 :
Pour tous les nombres entiers relatifs m et n :
Pour un nombre entier relatif a et un entier naturel n ≥ 1 :
-
;
-
(a non nul) ;
-
.
-
;
-
;
-
.
Propriétés des puissances de 10 :
Pour tous les nombres entiers relatifs m et n :
-
;
-
:
-
.
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