Le théorème de Thalès- Collège- Mathématiques - Maxicours

Le théorème de Thalès

Objectifs

► Prérequis
• Le triangle
• Les triangles semblables
• Les fractions égales
• La simplification de fraction
• Les diviseurs et multiples
• La proportionnalité
• Le produit en croix
• Le calcul mental
• L'homothétie
• L'agrandissement et la réduction

► Attendus
• Connaitre et utiliser le théorème de Thalès et sa réciproque
• Faire le lien entre théorème de Thalès, homothétie et proportionnalité

1. SAVOIR
a. Définition

On appelle configuration de Thalès une figure telle que :

  • ABC et AMN sont deux triangles ;
  • M ∈ (AB) ;
  • N ∈ (AC) ;
  • M et N sont du même côté de (BC).


Il y a trois cas :

b. Règles

► Théorème de Thalès
Si les triangles ABC et AMN forment une configuration de Thalès et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors ces triangles ont leurs côtés proportionnels et on a : .

Remarques :
Dans tous les cas, le triangle AMN est l’image du triangle ABC par une homothétie de centre A.
Dans tous les cas, le triangle AMN est un agrandissement ou une réduction du triangle ABC.

► Conséquence (contraposée) du théorème de Thalès
Si les triangles ABC et AMN forment une configuration de Thalès et si , alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

► Réciproque du théorème de Thalès
Si les triangles ABC et AMN forment une configuration de Thalès tels que les points A, M et B d’une part et A, N et C d’autre part sont dans le même ordre, et si , alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

2. SAVOIR-FAIRE

► Calculer une longueur dans une configuration de Thalès

Exemple de configuration :

► Montrer que deux droites parallèles grâce à la réciproque du théorème de Thalès

Exemple de configuration :

► Montrer que deux droites ne sont pas parallèles grâce à la conséquence (contraposée) du théorème de Thalès

Exemple de configuration :
3. À RETENIR
a. Glossaire
Triangles semblables : Deux triangles sont semblables s'ils ont la même forme, c'est-à-dire si leur côtés sont proportionnels ou qu'ils ont les mêmes angles.
Droites parallèles : Il s'agit de deux droites qui ne se croisent jamais, même si on les prolonge indéfiniment. Elles n'ont donc aucun point commun.
Proportionnalité : Deux listes de nombres sont proportionnelles si on peut obtenir la deuxième en multipliant la première par un même nombre.
Produit en croix : Le produit en croix est une méthode de calcul permettant de calculer une quatrième valeur à partir de trois autres. Si alors , et le fait de connaître trois de ces valeurs permet de calculer la quatrième.
Agrandissement et réduction : L'agrandissement ou la réduction de rapport k > 0 d'une figure est une autre figure où les longueurs ont été multipliés par k par rapport à la première.
b. Formules clés

Théorème de Thalès
Si les triangles ABC et AMN forment une configuration de Thalès, comme l’une des configurations ci-dessous, et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors ces triangles ont leurs côtés proportionnels et on a : .

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