Le théorème de Pythagore et sa réciproque
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Objectifs
► Prérequis
• Le triangle rectangle
• Le calcul mental
• Savoir calculer la racine carrée d’un nombre
► Attendus
• Caractériser le triangle rectangle par le théorème de Pythagore et sa réciproque
• Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres
• Le triangle rectangle
• Le calcul mental
• Savoir calculer la racine carrée d’un nombre
► Attendus
• Caractériser le triangle rectangle par le théorème de Pythagore et sa réciproque
• Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres
1. SAVOIR
a. Définition
Dans un triangle rectangle, le
théorème de Pythagore permet de
calculer la longueur d’un côté
connaissant celle des deux autres.
La réciproque du théorème
de Pythagore et sa
conséquence permettent de savoir si
un triangle est rectangle ou non.
b. Règles
► Le théorème de
Pythagore
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, c'est-à-dire : BC2 = AB2 + AC2.
► La conséquence (contraposée) du théorème de Pythagore
Si le carré de la longueur du côté le plus grand d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle n’est pas rectangle.
► La réciproque du théorème de Pythagore
Si les côtés d’un triangle ABC vérifient l'égalité BC2 = AB2 + AC2, alors le triangle ABC est rectangle en A et le côté [BC] est l’hypoténuse de ce triangle.
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, c'est-à-dire : BC2 = AB2 + AC2.
► La conséquence (contraposée) du théorème de Pythagore
Si le carré de la longueur du côté le plus grand d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle n’est pas rectangle.
► La réciproque du théorème de Pythagore
Si les côtés d’un triangle ABC vérifient l'égalité BC2 = AB2 + AC2, alors le triangle ABC est rectangle en A et le côté [BC] est l’hypoténuse de ce triangle.
2. SAVOIR-FAIRE
► Calculer la longueur d’un
côté dans un triangle rectangle grâce au
théorème de Pythagore
► Démontrer qu’un triangle est rectangle grâce à la réciproque du théorème de Pythagore
► Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle grâce à la conséquence (contraposée) du théorème de Pythagore
Exemple de configuration :
► Démontrer qu’un triangle est rectangle grâce à la réciproque du théorème de Pythagore
Exemple de configuration :
► Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle grâce à la conséquence (contraposée) du théorème de Pythagore
Exemple de configuration :
3. À RETENIR
a. Glossaire
Triangle : Polygone qui possède 3
côtés.
Triangle rectangle : Triangle dont un des angles est
droit.
Angle droit : Angle formé par deux droites
perpendiculaires.
Hypoténuse : Dans un triangle rectangle,
côté opposé à l'angle droit.
Côté : Segment reliant deux points
consécutifs d'une figure
géométrique.
Longueur : La longueur d'un segment est la distance
entre les deux extrémités de ce segment.
Carré (puissance 2) : Le carré d'un
nombre positif x est le nombre positif x
× x.
Racine carrée : La racine carrée d'un
nombre positif x est le nombre entier positif
tel que son carré
fasse x.
tel que son carré
fasse x.
b. Formules clés
Théorème de Pythagore :
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, c'est-à-dire : BC2 = AB2 + AC2.
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, c'est-à-dire : BC2 = AB2 + AC2.
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