Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires
Objectifs
Suivant les positions relatives de trois droites, on
peut en déduire le parallélisme ou la
perpendicularité de deux d’entre elles.
Quelles propriétés nous permettent de conclure, dans une configuration précise, que deux droites sont parallèles ou perpendiculaires ?
Quelles propriétés nous permettent de conclure, dans une configuration précise, que deux droites sont parallèles ou perpendiculaires ?
1. Propriétés avec deux droites
parallèles
Propriété 1
On sait que (d) // (d')et que (d) // (d'') donc d’après la propriété 1, (d') // (d'').
Exemple
ABCD et CDEF sont deux losanges.
Montrer que (AB) // (EF).
Les côtés opposés d’un losange sont parallèles donc :
(AB) // (CD) et (CD) // (EF).
D’après la propriété 1, on peut en conclure que (AB) // (EF).
Propriété 2
On sait que (d) // (d') et que (d'')
(d) donc d’après la
propriété 2, (d') (d'').
Exemple
ABC est un triangle rectangle en B et I un point de [AC]. On trace la droite (d) parallèle à (AB) passant par I.
Montrer que (d) et (BC) sont perpendiculaires.
ABC est un triangle rectangle en B donc les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
(AB) (BC) et
(d) // (AB).
D’après la propriété 2, on peut conclure que (d) (BC).
Si deux droites sont parallèles alors toute droite
parallèle à l’une est
parallèle à l’autre.
Illustration On sait que (d) // (d')et que (d) // (d'') donc d’après la propriété 1, (d') // (d'').
Exemple
ABCD et CDEF sont deux losanges.
Montrer que (AB) // (EF).
Les côtés opposés d’un losange sont parallèles donc :
(AB) // (CD) et (CD) // (EF).
D’après la propriété 1, on peut en conclure que (AB) // (EF).
Propriété 2
Si deux droites sont parallèles, alors toute
droite perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre.
Illustration On sait que (d) // (d') et que (d'')
(d) donc d’après la
propriété 2, (d') (d'').Exemple
ABC est un triangle rectangle en B et I un point de [AC]. On trace la droite (d) parallèle à (AB) passant par I.
Montrer que (d) et (BC) sont perpendiculaires.
ABC est un triangle rectangle en B donc les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
(AB)
(BC) et
(d) // (AB).D’après la propriété 2, on peut conclure que (d)
(BC).
2. Propriété avec deux droites
perpendiculaires
Propriété 3
On sait que (d) (d') et que
(d'') (d) donc d’après la
propriété 3,
(d') // (d'').
Exemple
ABC est un triangle rectangle en B et I un point de [AC]. On trace la droite (d) perpendiculaire à (BC) passant par I.
Montrer que (d) et (AB) sont parallèles.
ABC est un triangle rectangle en B donc les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
(AB) (BC) et (d) (BC).
D’après la propriété 3, on peut conclure que (d) // (AB).
Si deux droites sont perpendiculaires alors toute droite
perpendiculaire à l’une est parallèle
à l’autre .
Illustration On sait que (d)
(d') et que
(d'') (d) donc d’après la
propriété 3,
(d') // (d'').Exemple
ABC est un triangle rectangle en B et I un point de [AC]. On trace la droite (d) perpendiculaire à (BC) passant par I.
Montrer que (d) et (AB) sont parallèles.
ABC est un triangle rectangle en B donc les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
(AB)
(BC) et (d) (BC).D’après la propriété 3, on peut conclure que (d) // (AB).
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