Construction de quadrilatères - Cours de Mathématiques avec Maxicours

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Construction de quadrilatères

Objectif
Comment construire un quadrilatère particulier (cerf-volant, rectangle, losange, carré) connaissant certaines de ses mesures (angles, longueurs de côtés ou de diagonales…) ?
1. Le carré
► Construction d’un carré connaissant la longueur d’un côté 

On veut tracer un carré de côté 5 cm.

Propriété utilisée : 
Un carré est un quadrilatère ayant 4 côtés consécutifs égaux et perpendiculaires.

Étapes de construction :

Étape 1 : Avec une règle graduée puis avec une équerre, on trace deux segments, de supports perpendiculaires, de 5 cm.


Étape 2 : A l’aide d’une équerre, on complète le schéma en traçant la perpendiculaire à [AB] passant par A puis la perpendiculaire à [BC] passant par C.




► Construction d’un carré connaissant la longueur d’une des diagonales 

On veut tracer un carré ABCD de diagonales 7 cm.
 
Propriété utilisée :
Dans un carré les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de même longueur.

Étapes de construction :

Étape 1 : A l’aide d’une règle graduée, on trace un segment [AC] de longueur 7 cm ainsi que son milieu O.

Étape 2 : Ensuite avec l’équerre, on trace une droite perpendiculaire en O à [AC].




Étape 3 : On reprend la règle graduée et on place sur la perpendiculaire les points B et D tels que BO OD AO OC = 3,5 cm.



Remarque 1 : La construction d’un carré reprend à la fois les techniques de construction du losange et du rectangle. 

Remarque 2 : Pour chaque construction d’autres outils auraient pu être utilisés notamment le compas pour reporter des longueurs.  
2. Le rectangle
► Construction d’un rectangle connaissant la longueur de deux côtés consécutifs

Tracer le rectangle ABCD tel que AB = 6 cm et BC = 4 cm.

Propriété utilisée : 
Un rectangle est un quadrilatère dont les côtés consécutifs sont perpendiculaires.

Etapes à suivre : 

Étape 1 : Avec une règle graduée, on trace un segment de longueur AB = 6 cm.

Étape 2 : A l’aide d’une équerre, on place l’angle droit en B et on trace un segment de longueur BC = 4 cm.





Étape 3 : Toujours avec l’équerre, on trace la perpendiculaire à (BC) passant par C.



Étape 4 : On finit avec l’équerre en traçant la perpendiculaire à (AB) passant par A.



► Construction d’un rectangle connaissant la longueur des diagonales et un angle entre les diagonales 

On veut tracer le rectangle ABCD de centre O tel que AC = 7 cm et  = 130°.

Propriété utilisée : 
Les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu et sont de même longueur.

Étapes à suivre : 
 
Étape 1 : Avec une règle graduée, on trace la diagonale [AC] de longueur 7 cm et on place le milieu O de [AC].

Étape 2 : Avec un rapporteur, on trace un angle de 130°, de sommet O et de côté [AC].


Étape 3 : De nouveau avec la règle graduée, on place B et D de manière à ce que O soit le milieu de [BD] et que BD AC = 7 cm (c’est à dire OB OD  = 3,5 cm).


3. Le losange
► Construction d’un losange connaissant la longueur d’un côté et un angle 

On veut tracer le losange ABCD tel que AB = 5 cm et  = 120°.

Propriété utilisée : 
Un losange est un quadrilatère dont les 4 côtés sont égaux.

Étapes à suivre : 

Étape 1 : A l’aide d’une règle graduée, on trace un segment [AB] de longueur 5 cm.

Étape 2 : Ensuite avec un rapporteur, on trace un angle de 120 °, de sommet B et de côté [AB].

Étape 3 : Puis grâce au compas, on reporte la longueur AB sur l’autre côté de l’angle.



Étape 4 : Toujours au compas, on reporte la longueur AB à partir de A puis de C. L’intersection des deux arcs de cercle donne D.




► Construction d’un losange connaissant la longueur des deux diagonales 

On veut tracer le losange ABCD tel que AC = 7 cm et BD = 4 cm.

Propriété utilisée : 
Dans un losange les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Étapes à suivre : 

Étape 1 : A l’aide d’une règle graduée, on trace un segment [AC] de longueur 7 cm ainsi que son milieu O.

Étape 2 : Avec une équerre, on trace ensuite une droite perpendiculaire en O à [AC].

Étape 3 : Puis avec une règle graduée, on place sur la perpendiculaire les points B et D tels que BO OD = 4 : 2 = 2 cm. 


4. Le cerf-volant
Construction d’un cerf-volant connaissant deux côtés consécutifs non égaux et un angle

Construire un cerf-volant ABCD tel que AB = 5 cm, BC = 3 cm et  = 110°.

Propriétés utilisées : 
Un cerf-volant est un quadrilatère dont les côtés consécutifs sont égaux deux à deux.
Une des diagonales est un axe de symétrie.

Étapes à suivre : 


Étape 1 : Avec la règle graduée, on trace un segment de longueur AB = 5 cm.

Étape 2 : On trace ensuite un angle de 110 °, de sommet B, à l’aide d’un rapporteur.

Étape 3 : Puis la règle graduée sert à tracer un segment [BC] de longueur 3 cm.




Étape 4 : Toujours avec la règle, on trace (AC), l’axe de symétrie du cerf-volant.




Étape 5 : Pour finir, on trace le symétrique de B par rapport à la droite (AC).


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