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Le cercle : définition et périmètre

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Objectifs

Depuis l'antiquité, le cercle est considéré comme une « figure parfaite » du fait des ses nombreuses symétries. De nombreux objets naturels ou artificiels possèdent cette forme : le soleil, l'œil, la roue, la montre...
Comment définir mathématiquement cette figure ? Comment calcule-ton son périmètre ?

1. Définition

Le cercle de centre O et de rayon R est l'ensemble des points situés à la même distance R de ce centre.

On trace un cercle grâce à un compas. Pour ce, on pointe le compas sur le centre O avec un écartement correspondant à la longueur R.

On note souvent le cercle (C) (C comme Cercle).
Sur le schéma précédent, M, A et B appartiennent au cercle ; on a donc :
OM = OA = OB.

Exemple
Tracer un cercle de centre A et de rayon 5 cm.

2. Périmètre du cercle

Rappel

Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. Elle s'exprime dans des unités comme le m, km, hm, dam, dm, cm, mm…

Approche expérimentale
• On trace des cercles de différents rayons.
• A l’aide d’une ficelle, on reproduit le contour de chacun des cercles.
• Avec une règle graduée, on mesure les longueurs de ficelle correspondant aux contours.
• Pour chaque cercle, la longueur de ficelle utilisée pour reproduire le contour correspond au périmètre de ce cercle.
Pour chaque cercle, on remarque que le rapport du périmètre sur deux fois le rayon est constant :

Ce nombre constant est appelé Pi et noté

.

Valeur exacte ou valeur approchée
Le nombre

ne peut s’écrire sous forme décimale de manière exacte. La calculatrice nous donne une valeur approchée de

3,141592653. Le signe «

» veut dire « à peu près égal à ».
La valeur exacte de Pi s’écrira donc

(on ne donne aucun chiffre).

Remarque

Dans la plupart des exercices, on utilise une valeur approchée au centième :

3,14.

De ce qui précède, on peut déduire le périmètre P d’un cercle de rayon R.

Le périmètre d’un cercle de rayon R est :
P = 2 ×

× R.

Dans les exercices, on a deux types de questions :
Premier cas
On demande la valeur exacte ; on doit alors laisser

dans la réponse.

Exemple
Donner la valeur exacte du périmètre d’un cercle de 5 cm de rayon.
P = 2 ×

× 5 = 10 ×

cm.

Deuxième cas
On demande une valeur approchée avec un nombre fixé de chiffres après la virgule.

Exemple
Donner la valeur approchée au dixième (1 chiffre après la virgule) du périmètre d’un cercle de 5 cm de rayon.
P = 2 ×

× 5

31,4 cm.

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