Le cercle : définition et périmètre
Objectifs
Depuis l'antiquité, le cercle est
considéré comme une « figure
parfaite » du fait des ses nombreuses
symétries. De nombreux objets naturels ou
artificiels possèdent cette forme : le
soleil, l'œil, la roue, la montre...
Comment définir mathématiquement cette figure ? Comment calcule-ton son périmètre ?
Comment définir mathématiquement cette figure ? Comment calcule-ton son périmètre ?
1. Définition
Le cercle de centre O et de rayon
R est l'ensemble des points
situés à la même distance R
de ce centre.
On trace un cercle grâce à un compas.
Pour ce, on pointe le compas sur le centre O avec
un écartement correspondant à la longueur
R.
On note souvent le cercle (C) (C comme Cercle).
Sur le schéma précédent, M, A et B appartiennent au cercle ; on a donc :
OM = OA = OB.
Exemple
Tracer un cercle de centre A et de rayon 5 cm.

2. Périmètre du cercle
Rappel
• On trace des cercles de différents rayons.
• A l’aide d’une ficelle, on reproduit le contour de chacun des cercles.
• Avec une règle graduée, on mesure les longueurs de ficelle correspondant aux contours.
• Pour chaque cercle, la longueur de ficelle utilisée pour reproduire le contour correspond au périmètre de ce cercle.
Pour chaque cercle, on remarque que le rapport du périmètre sur deux fois le rayon est constant :

Ce nombre constant est appelé Pi et noté
.
Valeur exacte ou valeur approchée
Le nombre
ne peut s’écrire sous forme
décimale de manière exacte. La calculatrice
nous donne une valeur approchée de
:
3,141592653. Le signe «
» veut dire « à peu
près égal à ».
La valeur exacte de Pi s’écrira donc
(on ne donne aucun chiffre).
Remarque
Premier cas
On demande la valeur exacte ; on doit alors laisser
dans la réponse.
Exemple
Donner la valeur exacte du périmètre d’un cercle de 5 cm de rayon.
P = 2 ×
× 5 = 10 ×
cm.
Deuxième cas
On demande une valeur approchée avec un nombre fixé de chiffres après la virgule.
Exemple
Donner la valeur approchée au dixième (1 chiffre après la virgule) du périmètre d’un cercle de 5 cm de rayon.
P = 2 ×
× 5
31,4 cm.
Le périmètre d'une figure
est la longueur de son contour. Elle s'exprime dans des
unités comme le m, km, hm, dam, dm, cm, mm…
Approche expérimentale• On trace des cercles de différents rayons.
• A l’aide d’une ficelle, on reproduit le contour de chacun des cercles.
• Avec une règle graduée, on mesure les longueurs de ficelle correspondant aux contours.
• Pour chaque cercle, la longueur de ficelle utilisée pour reproduire le contour correspond au périmètre de ce cercle.
Pour chaque cercle, on remarque que le rapport du périmètre sur deux fois le rayon est constant :

Ce nombre constant est appelé Pi et noté

Valeur exacte ou valeur approchée
Le nombre





La valeur exacte de Pi s’écrira donc

Remarque
Dans la plupart des exercices, on utilise une valeur
approchée au centième :
3,14.
De ce qui précède, on peut
déduire le périmètre P
d’un cercle de rayon R.


Le périmètre d’un cercle de
rayon R est :
P = 2 ×
× R.
Dans les exercices, on a deux types de
questions :
Premier cas
On demande la valeur exacte ; on doit alors laisser

Exemple
Donner la valeur exacte du périmètre d’un cercle de 5 cm de rayon.
P = 2 ×


Deuxième cas
On demande une valeur approchée avec un nombre fixé de chiffres après la virgule.
Exemple
Donner la valeur approchée au dixième (1 chiffre après la virgule) du périmètre d’un cercle de 5 cm de rayon.
P = 2 ×



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