Proportions et réunion - Cours de Mathématiques Première pro avec Maxicours

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Proportions et réunion

Objectif(s)
Proportion et réunion – Sous-populations disjointes
1. Proportion et réunion
Soit  une population donnée et A et B deux sous-populations de  . Soit PA et PB la proportion de A et B par rapport à  .

Si  est vide, alors les ensembles sont dits «disjoints».
Propriété : si A et B sont deux sous-populations d'une population , alors :

Exemple
Une entreprise spécialisée dans l’informatique vend aux entreprises 800 ordinateurs par mois. 300 de ces ordinateurs sont vendus avec un pack « gestion », 400 avec un pack « secrétariat » et 100 ordinateurs sont vendus avec les deux.

► Quelle proportion d’ordinateurs sont vendus avec au moins un de ces packs ?

Si A représente la population des ordinateurs avec le pack « gestion» et B la population avec le pack « secrétariat » alors le problème revient à chercher :

 et 



Donc : .

75 % des ordinateurs ont au moins un des deux packs.
2. Cas des sous-populations disjointes
Si A et B sont deux sous-populations disjointes alors (ensemble vide) et .



Remarques
• Pour appliquer cette formule, il faut impérativement que les ensembles A et B soient disjoints, c'est-à-dire qu'ils n'aient pas d'éléments en commun.
• Il faut, en outre, que les proportions considérées soient bien exprimées par rapport au même ensemble E.

Exemple
La répartition du chiffre d'affaires d'un groupe spécialisé dans la micro-informatique est la suivante :

Calculer la part en pourcentage du chiffre d'affaires de ce groupe relative aux ordinateurs.

Ceci est une application directe du calcul de la proportion d'une réunion d'ensembles disjoints (puisqu'un ordinateur ne peut pas être à la fois de bureau et portable).
Donc la proportion cherchée est la somme des proportions de chacun des ensembles.
La part en pourcentage du chiffre d'affaires de ce groupe relative aux ordinateurs est donc de :
40 % + 30 % = 70 %.
L’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et B est appelé l' intersection de A et B.
On la note  et on lit « A inter B ».

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