Proportion : définition et propriétés
Objectifs
Définition - Expressions d’une proportion -
Pourcentages de pourcentages
1. Définition
Définition
Soit A un ensemble appelé population, ayant un nombre a d'éléments (a non nul) et B une partie de l'ensemble A, une sous-population, ayant un nombre b d'événements.
Remarque : Le nombre d'éléments d'une population est appelé l'effectif.
Soit A un ensemble appelé population, ayant un nombre a d'éléments (a non nul) et B une partie de l'ensemble A, une sous-population, ayant un nombre b d'événements.
Remarque : Le nombre d'éléments d'une population est appelé l'effectif.
La proportion (ou fréquence) de B par
rapport à A est le nombre (réel)
défini par le rapport :
.
.
Remarques
• Le nombre a est toujours supérieur ou égal au nombre b.
• Par conséquent le rapport
est un nombre compris entre 0 et
1.
• On parle toujours de proportion « de »... « par rapport à ».
Donner une proportion sans préciser par rapport à quelle population on se place ne veut strictement rien dire, et c'est malheureusement souvent le cas, même dans les journaux !
• Le nombre a est toujours supérieur ou égal au nombre b.
• Par conséquent le rapport
est un nombre compris entre 0 et
1.• On parle toujours de proportion « de »... « par rapport à ».
Donner une proportion sans préciser par rapport à quelle population on se place ne veut strictement rien dire, et c'est malheureusement souvent le cas, même dans les journaux !
Exemple
Dans un lycée de 735 élèves il y a 385 filles. On cherche à calculer la proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves de ce lycée.
La population A est donc ici l'ensemble des élèves du lycée et la sous-population B représente les filles de ce lycée.
La proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves de ce lycée est donc l nombre réel : .
2. Expressions d'une proportion
a. Sous forme décimale
Comme nous l'avons vu, une proportion (d'un ensemble
A par rapport à un ensemble B) se
calcule sous la forme d'une fraction
irréductible.
On peut donc aussi, même si c'est peu courant, donner le résultat sous la forme d'un réel avec une précision donnée.
Exemple
Dans l'exemple précédent, la proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves est égale à
, soit environ 0,523809.
On peut décider de donner cette proportion avec 4 chiffres après la virgule (donc à 10-4 près) : 0,5238 à 0,0001 près (ou à 10-4 près).
On peut donc aussi, même si c'est peu courant, donner le résultat sous la forme d'un réel avec une précision donnée.
Exemple
Dans l'exemple précédent, la proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves est égale à
, soit environ 0,523809.On peut décider de donner cette proportion avec 4 chiffres après la virgule (donc à 10-4 près) : 0,5238 à 0,0001 près (ou à 10-4 près).
Remarque
Sous cette forme il faudra toujours préciser le degré d'approximation choisi.
Il est fréquemment de 4 chiffres significatifs.
Sous cette forme il faudra toujours préciser le degré d'approximation choisi.
Il est fréquemment de 4 chiffres significatifs.
b. Sous forme de pourcentage
Il est plus habituel, cependant, d'exprimer une
proportion sous forme de pourcentage avec une
précision de 2 chiffres après la virgule
pour le pourcentage lorsque le résultat n'est pas
un nombre entier.
Exemple
Dans l'exemple précédent, la proportion est égale à
, soit
environ 
,
ce qui représente 52,38 % à 0,01 %
près.
Ainsi, plus de la moitié des élèves de ce lycée sont des filles.
Exemple et remarque importante
Dans l'exemple précédent, on cherche à calculer la proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves dans un lycée de 735 élèves pour 385 filles.
On peut écrire que la proportion cherchée est :
•
% à 0,01%
près ;
• ou que :
.
Donc la proportion de filles dans le lycée est d'environ 52,38 %.
Mais écrire que
est égal à
52,38 % est faux.
En effet :
.
Il est plus habituel, cependant, d'exprimer une proportion sous forme de pourcentage avec une précision de 2 chiffres après la virgule pour le pourcentage lorsque le résultat n'est pas un nombre entier.
Exemple
Dans l'exemple précédent, la proportion est égale à
, soit
environ ,
ce qui représente 52,38 % à 0,01 %
près.Ainsi, plus de la moitié des élèves de ce lycée sont des filles.
Remarque
Sous cette forme il faudra toujours préciser le degré d'approximation choisi.
On donne souvent le résultat à 0,0001 près soit 0,01 % près.
Sous cette forme il faudra toujours préciser le degré d'approximation choisi.
On donne souvent le résultat à 0,0001 près soit 0,01 % près.
Définition
La proportion exprimée en pourcentage de B par rapport à A est le nombre (réel) défini par le rapport :
.
Pour obtenir directement le nombre t on peut écrire :
.
Remarque : on dit que B représente t % de A.
La proportion exprimée en pourcentage de B par rapport à A est le nombre (réel) défini par le rapport :
.Pour obtenir directement le nombre t on peut écrire :
.Remarque : on dit que B représente t % de A.
Exemple et remarque importante
Dans l'exemple précédent, on cherche à calculer la proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves dans un lycée de 735 élèves pour 385 filles.
On peut écrire que la proportion cherchée est :
•
% à 0,01%
près ;• ou que :
.Donc la proportion de filles dans le lycée est d'environ 52,38 %.
Mais écrire que
est égal à
52,38 % est faux.En effet :
.Il est plus habituel, cependant, d'exprimer une proportion sous forme de pourcentage avec une précision de 2 chiffres après la virgule pour le pourcentage lorsque le résultat n'est pas un nombre entier.
3. Pourcentages de pourcentages
Propriété
Soient A un ensemble ayant un nombre a d'éléments (a non nul), B une partie de l'ensemble A ayant un nombre b (non nul) d'éléments et C une partie de B ayant c éléments.
Soient A un ensemble ayant un nombre a d'éléments (a non nul), B une partie de l'ensemble A ayant un nombre b (non nul) d'éléments et C une partie de B ayant c éléments.
Si : C représente t1% de
B et si B représente
t2% de A, alors C
représente 
de
A.
Remarque : on peut écrire ce rapport sous la forme
%.
de
A.Remarque : on peut écrire ce rapport sous la forme
%.
Démonstration
Si B représente t1 % de A, alors
%Si C représente t2 % de B, alors
%.Or :
.Ce qui représente la proportion de C par rapport à A.
Donc
représente bien la proportion de C par
rapport à A.Exemple
Une librairie-papeterie fait 38 % de son chiffre d'affaire sur la vente de livres.
Elle a vendu en un mois pour 2 500 euros de livres, dont 69 % en livres de poche.
Calculer le pourcentage de livres de poche sur le chiffre d'affaires global de la librairie-papeterie.
On peut schématiser ainsi le problème :
On est bien dans le cas d'application de la propriété sur les pourcentages de pourcentages.
Donc le pourcentage de livres de poche sur le chiffre d'affaires global de la librairie-papeterie est donné par :
.Ainsi, 26,22 % du chiffre d'affaires global provient de la vente des livres de poche.
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