Proportion : définition et propriétés
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Soit A un ensemble appelé population, ayant un nombre a d'éléments (a non nul) et B une partie de l'ensemble A, une sous-population, ayant un nombre b d'événements.
Remarque : Le nombre d'éléments d'une population est appelé l'effectif.
.
• Le nombre a est toujours supérieur ou égal au nombre b.
• Par conséquent le rapport
est un nombre compris entre 0 et
1.• On parle toujours de proportion « de »... « par rapport à ».
Donner une proportion sans préciser par rapport à quelle population on se place ne veut strictement rien dire, et c'est malheureusement souvent le cas, même dans les journaux !
Exemple
Dans un lycée de 735 élèves il y a 385 filles. On cherche à calculer la proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves de ce lycée.
La population A est donc ici l'ensemble des élèves du lycée et la sous-population B représente les filles de ce lycée.
La proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves de ce lycée est donc l nombre réel : .
On peut donc aussi, même si c'est peu courant, donner le résultat sous la forme d'un réel avec une précision donnée.
Exemple
Dans l'exemple précédent, la proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves est égale à
, soit environ 0,523809.On peut décider de donner cette proportion avec 4 chiffres après la virgule (donc à 10-4 près) : 0,5238 à 0,0001 près (ou à 10-4 près).
Sous cette forme il faudra toujours préciser le degré d'approximation choisi.
Il est fréquemment de 4 chiffres significatifs.
Exemple
Dans l'exemple précédent, la proportion est égale à
, soit
environ 
,
ce qui représente 52,38 % à 0,01 %
près.Ainsi, plus de la moitié des élèves de ce lycée sont des filles.
Sous cette forme il faudra toujours préciser le degré d'approximation choisi.
On donne souvent le résultat à 0,0001 près soit 0,01 % près.
La proportion exprimée en pourcentage de B par rapport à A est le nombre (réel) défini par le rapport :
.Pour obtenir directement le nombre t on peut écrire :
.Remarque : on dit que B représente t % de A.
Exemple et remarque importante
Dans l'exemple précédent, on cherche à calculer la proportion de filles par rapport à l'ensemble des élèves dans un lycée de 735 élèves pour 385 filles.
On peut écrire que la proportion cherchée est :
•
% à 0,01%
près ;• ou que :
.Donc la proportion de filles dans le lycée est d'environ 52,38 %.
Mais écrire que
est égal à
52,38 % est faux.En effet :
.Il est plus habituel, cependant, d'exprimer une proportion sous forme de pourcentage avec une précision de 2 chiffres après la virgule pour le pourcentage lorsque le résultat n'est pas un nombre entier.
Soient A un ensemble ayant un nombre a d'éléments (a non nul), B une partie de l'ensemble A ayant un nombre b (non nul) d'éléments et C une partie de B ayant c éléments.
de
A.Remarque : on peut écrire ce rapport sous la forme
%.
Démonstration
Si B représente t1 % de A, alors
%Si C représente t2 % de B, alors
%.Or :
.Ce qui représente la proportion de C par rapport à A.
Donc
représente bien la proportion de C par
rapport à A.Exemple
Une librairie-papeterie fait 38 % de son chiffre d'affaire sur la vente de livres.
Elle a vendu en un mois pour 2 500 euros de livres, dont 69 % en livres de poche.
Calculer le pourcentage de livres de poche sur le chiffre d'affaires global de la librairie-papeterie.
On peut schématiser ainsi le problème :
On est bien dans le cas d'application de la propriété sur les pourcentages de pourcentages.
Donc le pourcentage de livres de poche sur le chiffre d'affaires global de la librairie-papeterie est donné par :
.Ainsi, 26,22 % du chiffre d'affaires global provient de la vente des livres de poche.
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