Fiche de cours
Ondes progressives périodiques / sinusoïdales
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Objectifs
• Définir une onde progressive mécanique
périodique et ses caractéristiques (périodes
temporelle et spatiale).
• Définir une onde progressive mécanique périodique particulière : l’onde sinusoïdale et ses caractéristiques (période, fréquence et longueur d’onde).
• Définir une onde progressive mécanique périodique particulière : l’onde sinusoïdale et ses caractéristiques (période, fréquence et longueur d’onde).
1. Ondes progressives périodiques
On appelle onde progressive le phénomène de
propagation d’une perturbation, de proche en
proche, sans transport de matière mais avec
transport d’énergie. La perturbation
consiste en une déformation (au sens large) de son
milieu de propagation.
Exemple d’ondes : vagues, onde sonore,
lumière, ...
La perturbation est produite initialement par une
source, comme par exemple des baffles de haut
parleur pour une onde sonore.
Quand la source impose une perturbation périodique, l’onde progressive ainsi générée est elle-même périodique. Cette onde est caractérisée par une double périodicité : temporelle et spatiale.
Quand la source impose une perturbation périodique, l’onde progressive ainsi générée est elle-même périodique. Cette onde est caractérisée par une double périodicité : temporelle et spatiale.
a. Période temporelle
Considérons la déformation du milieu
provoquée par une onde périodique, au niveau de
la source et en un point quelconque M de ce
milieu, en fonction du temps.
À la source ou en un point donné, on constate que le mouvement observé est périodique. Il est caractérisé par une période T (exprimée en seconde).
Pour un point donné, la période correspond à la plus petite durée non nulle entre deux états vibratoires identiques. Autrement dit, sur le graphe, la période T est par exemple le temps entre deux maximums consécutifs.
La valeur de T n'est pas modifiée lors de la propagation de l'onde. La valeur de cette période caractérise la source.
Au niveau du point M, on constate que le mouvement ne s'instaure pas immédiatement, mais au bout d'un temps τ que l'on appellera le retard. Ainsi, τ est le temps nécessaire pour que l'onde atteigne le point M. Par extension, τ est le temps requis pour que l'état vibratoire produit par la source atteigne le point M (cf. fiche « Ondes progressives à une dimension »).
À la source ou en un point donné, on constate que le mouvement observé est périodique. Il est caractérisé par une période T (exprimée en seconde).
Pour un point donné, la période correspond à la plus petite durée non nulle entre deux états vibratoires identiques. Autrement dit, sur le graphe, la période T est par exemple le temps entre deux maximums consécutifs.
La valeur de T n'est pas modifiée lors de la propagation de l'onde. La valeur de cette période caractérise la source.
Au niveau du point M, on constate que le mouvement ne s'instaure pas immédiatement, mais au bout d'un temps τ que l'on appellera le retard. Ainsi, τ est le temps nécessaire pour que l'onde atteigne le point M. Par extension, τ est le temps requis pour que l'état vibratoire produit par la source atteigne le point M (cf. fiche « Ondes progressives à une dimension »).
Si le point M est distant de la source d'une
longueur d (en m), le retard (en s) est
donné par la relation 
, où c est la
célérité de l'onde.
La célérité s'exprime en
m.s-1 et correspond à la vitesse à
laquelle se déplace la perturbation et, par
extension, l'onde. Par exemple, la
célérité du son dans l'air à
température ambiante est voisine 340
m.s-1, la célérité de la
lumière dans le vide est proche de 3.108
m.s-1., où c est la
célérité de l'onde.
L'onde est périodique dans le
temps : yM(t) =
yM(t + nT), avec n entier relatif. Cela veut dire
que si un point M du milieu de propagation
présente un état vibratoire à un instant
t, il le retrouvera régulièrement :
T puis 2T, 3T, ..., nT plus
tard.
b. Fréquence
La fréquence de vibration ƒ d'une onde
est égale à l'inverse de sa période
temporelle T : 
, où ƒ s'exprime en Hertz (Hz) et T
en secondes.
La fréquence représente le nombre
d'oscillations (le nombre de périodes) par
seconde., où ƒ s'exprime en Hertz (Hz) et T
en secondes.
Exemples : Quelques fréquences des ondes sonores :
• infrasons : ƒ < 20 Hz
• les sons audibles : 20 Hz < ƒ < 20 000 Hz
• les ultrasons : ƒ > 20 000 Hz
Quand une onde passe d'un milieu à un autre, sa célérité est susceptible de varier (exemple : phénomène de réfraction des ondes lumineuses). Par contre, sa fréquence, et par extension sa période, restent constante durant cette transition.
c. Période spatiale
On considère maintenant le milieu de propagation
pour des instants différents donnés.
Autrement dit, c'est comme si on prenait l'onde en photo : on « fige le temps ».
On observe que l’onde possède une périodicité dans l’espace, caractérisée par sa période spatiale, que l'on nomme longueur d'onde, notée λ. Cette grandeur caractérise l'onde. Sa valeur s'exprime en mètres.
Sur un graphe, la longueur d'onde est la plus petite distance non nulle séparant deux points du milieu présentant le même état vibratoire. La longueur d'onde est ainsi par exemple la distance séparant deux maximums consécutifs sur ce graphe.
De manière générale, deux points M et M', séparés d'une distance égale à un multiple de λ ont le même état vibratoire à tout instant : y(x) = y(x + kλ), avec k entier relatif.
Pour une onde deux ou trois dimensions, le raisonnement reste valable, à condition que les deux points appartiennent à deux fronts d'onde différents.
Quand une onde passe d'un milieu à l'autre, nous avons vu que la fréquence et la période restent constantes, alors que la célérité de l'onde est susceptible de varier. En conséquence, d'après cette relation, la longueur d'onde est elle aussi modifiée.
Illustration animée : On dispose d'un chronomètre pour évaluer la célérité de l'onde. On peut définir la période (fréquence) et la longueur d'onde dans le cas d'une excitation sinusoïdale.
Autrement dit, c'est comme si on prenait l'onde en photo : on « fige le temps ».
On observe que l’onde possède une périodicité dans l’espace, caractérisée par sa période spatiale, que l'on nomme longueur d'onde, notée λ. Cette grandeur caractérise l'onde. Sa valeur s'exprime en mètres.
Sur un graphe, la longueur d'onde est la plus petite distance non nulle séparant deux points du milieu présentant le même état vibratoire. La longueur d'onde est ainsi par exemple la distance séparant deux maximums consécutifs sur ce graphe.
De manière générale, deux points M et M', séparés d'une distance égale à un multiple de λ ont le même état vibratoire à tout instant : y(x) = y(x + kλ), avec k entier relatif.
Pour une onde deux ou trois dimensions, le raisonnement reste valable, à condition que les deux points appartiennent à deux fronts d'onde différents.
La longueur d'onde λ (en m) est
reliée à la célérité c
et à la période T de l'onde par la
relation 
.
La longueur d'onde λ est la distance parcourue par l'onde de célérité c en une période temporelle T.
.La longueur d'onde λ est la distance parcourue par l'onde de célérité c en une période temporelle T.
Quand une onde passe d'un milieu à l'autre, nous avons vu que la fréquence et la période restent constantes, alors que la célérité de l'onde est susceptible de varier. En conséquence, d'après cette relation, la longueur d'onde est elle aussi modifiée.
Illustration animée : On dispose d'un chronomètre pour évaluer la célérité de l'onde. On peut définir la période (fréquence) et la longueur d'onde dans le cas d'une excitation sinusoïdale.
2. Cas particulier : les ondes progressives
sinusoïdales
a. Définition
Une onde progressive est sinusoïdale si
l'onde évolue en fonction du temps et de la
distance comme une sinusoïde. Autrement dit,
les fonctions yM(x) et
yM(t) sont des
sinusoïdes.
Une onde progressive sinusoïdale étant une onde progressive périodique, elle présente donc aussi une double périodicité : temporelle et spatiale. Ainsi, les notions de période et de longueur d’onde sont valables pour les ondes progressives sinusoïdales. D’ailleurs, dans la pratique, les ondes progressives sinusoïdales seront les ondes périodiques les plus utilisées en physique (ce que l’on pourra justifier dans la fiche « analyse spectrale »).
Les sons purs et les ondes lumineuses monochromatiques (une seule fréquence) sont des exemples d’ondes progressives sinusoïdales.
b. Expression d'une onde progressive
sinusoïdale (non exigible)
Pour une onde progressive sinusoïdale se propageant
selon l'axe x et correspondant à une
perturbation s'exerçant selon l'axe y (onde
transversale), l'expression de la déformation
y s'écrit ainsi :
Si l'on étudie l'onde en un point donné, alors on utilise
, où θ est une
phase (en radians), correspondant à un décalage
selon l'axe des temps.
Si l'on étudie l'onde pour un temps donné, on a
, où 
(en radians) correspond à
un décalage selon l'axe des x.
A est l'amplitude de l'onde (unité
dépendant de l'onde étudiée), t
est le temps (en s), T est la période (en
s), x (en m) est la position selon l'axe de
propagation de l'onde, λ est la longueur
d'onde (en m).
Si l'on étudie l'onde en un point donné, alors on utilise
, où θ est une
phase (en radians), correspondant à un décalage
selon l'axe des temps.Si l'on étudie l'onde pour un temps donné, on a
, où (en radians) correspond à
un décalage selon l'axe des x.
3. Front d'onde
Au sein d'un milieu de propagation homogène et
isotrope (célérité de l'onde constante selon
la position et la direction de propagation de l'onde),
un front d'onde correspond à l'ensemble des points
situés à une même distance de la source
émettrice. Par voie de conséquence, des
points situés sur le même front d'onde
présentent le même état vibratoire.
• Pour un milieu de propagation bidimensionnel, le front d'onde est une ligne.
Par exemple, on peut citer les vagues à la surface de l'eau, que l'on étudie via une cuve à ondes dont le vibreur est relié à un générateur à fréquence variable.
– Si le vibreur est une lame (source étendue), on observe des rides rectilignes : les fronts d'ondes sont des droites. L'onde est dite rectiligne.
– Si le vibreur est une pointe (source
ponctuelle), on observe des rides circulaires : les fronts
d'onde sont des cercles. L'onde est dite
circulaire.
• Pour un milieu tridimensionnel, le front d'onde est une surface. Pour une source ponctuelle, les fronts d'onde dont des sphères concentriques, centrées sur la source, dont les rayons augmentent avec le temps. On dit alors que l'on a une onde sphérique.
Exemples : ondes sonores évoluant dans un milieu de propagation homogène et isotrope.
• Pour un milieu de propagation bidimensionnel, le front d'onde est une ligne.
Par exemple, on peut citer les vagues à la surface de l'eau, que l'on étudie via une cuve à ondes dont le vibreur est relié à un générateur à fréquence variable.
– Si le vibreur est une lame (source étendue), on observe des rides rectilignes : les fronts d'ondes sont des droites. L'onde est dite rectiligne.
• Pour un milieu tridimensionnel, le front d'onde est une surface. Pour une source ponctuelle, les fronts d'onde dont des sphères concentriques, centrées sur la source, dont les rayons augmentent avec le temps. On dit alors que l'on a une onde sphérique.
Exemples : ondes sonores évoluant dans un milieu de propagation homogène et isotrope.
L'essentiel
Une onde progressive est le phénomène de
propagation d’une perturbation, de proche en proche,
sans transport de matière, mais avec transport
d’énergie. Pour une onde progressive
périodique, la perturbation évolue de
manière périodique.
Une onde progressive périodique présente une double périodicité :
• temporelle, dont la période est notée T et s'exprime en secondes. La fréquence (en Hz) de l'onde est
.
• spatiale, avec la longueur d'onde λ, qui s'exprime en mètres, et est reliée à la période T, à la célérité c et à la fréquence ƒ par la relation
.
Une onde progressive sinusoïdale est un cas particulier d'onde progressive périodique, qui évolue selon le temps et la distance comme une sinusoïde.
Un front d'onde désigne l'ensemble des points situés à une même distance de la source émettrice de l'onde. Les points situés sur un même front d'onde présentent le même état vibratoire.
Une onde progressive périodique présente une double périodicité :
• temporelle, dont la période est notée T et s'exprime en secondes. La fréquence (en Hz) de l'onde est
.• spatiale, avec la longueur d'onde λ, qui s'exprime en mètres, et est reliée à la période T, à la célérité c et à la fréquence ƒ par la relation
.Une onde progressive sinusoïdale est un cas particulier d'onde progressive périodique, qui évolue selon le temps et la distance comme une sinusoïde.
Un front d'onde désigne l'ensemble des points situés à une même distance de la source émettrice de l'onde. Les points situés sur un même front d'onde présentent le même état vibratoire.
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