Étude d'un système solide-ressort et des forces de frottements - Cours de Physique Chimie Terminale S avec Maxicours - Lycée

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Étude d'un système solide-ressort et des forces de frottements

Objectifs :
• Quelle est l'expression de l'énergie mécanique d'un système solide-ressort ?
• Ce système constitue-t-il un système conservatif ?
L'énergie cinétique d'un solide relie le carré de la vitesse de ce solide et sa masse.
L'énergie potentielle de pesanteur d'un solide dépend de sa masse et de l'altitude où il se trouve.
Et l'énergie mécanique relie ces deux grandeurs.
1. Le système solide-ressort
a. Le référentiel d'étude
Un repère est associé à un référentiel terrestre, considéré comme galiléen pour des temps courts.

L'axe (Ox) de ce repère est choisi de telle sorte qu'il soit horizontal et "parallèle" à l'axe du ressort. Un solide, supposé indéformable, de masse m est relié au ressort de masse négligeable devant celle du solide, à spires non-jointives, de constante de raideur k et de longueur à vide Lo. Ce ressort est relié à l'autre extrémité à un point fixe.

Lorsque le système est immobile, à la date t = 0 s, le centre d'inertie G du solide coïncide avec l'origine du repère O.

Initialement, le ressort est écarté (comprimé ou étiré) de sa position d'équilibre d'une longueur , puis lâché sans vitesse initiale : le système oscille alors autour de sa position d'équilibre O.
b. Bilan des forces appliquées au système
Le solide est soumis à trois forces : son poids , la réaction du support et la force de rappel exercée par le ressort.


c. Travaux des forces
Le poids et la réaction du support (en l'absence de frottement) ont des directions perpendiculaires à l'axe (Ox), direction du déplacement donc leur travail est nul :

et

Le travail total Wtotal du système est :

, à laquelle correspond une énergie potentielle élastique .
2. Paramètres influençant l'énergie mécanique
On rappelle que :
• Le système solide-ressort constitue un système oscillant.
Son allongement est donné par :  xm est l'amplitude (en m) correspondant à un allongement maximum atteint lors d'une oscillation, (en s) la période propre de l'oscillateur et φ0(en rad) l'origine des phase (décalage de la sinusoïde selon l'axe horizontal des temps). xmet φ0sont déterminées par les conditions initiales.
• La vitesse v du solide est la dérivée de la position x : .
a. Énergie cinétique
Démonstration :

; où est la vitesse du centre d'inertie du solide.

   

   

Avec , l'expression de l'énergie cinétique devient : .

b. Énergie potentielle élastique
L'énergie potentielle élastique Epk du système solide-ressort est donnée par : .

L'énergie potentielle élastique est celle que doit fournir un opérateur pour étirer ou comprimer le ressort.
c. Énergie mécanique
L'énergie mécanique Em du système est la somme de son énergie cinétique Ec et de son énergie potentielle élastique Epk. On note Em = Ec + Epk.

Démonstration :



    

    



car, (relation trigonométrique).

Em dépend donc de la raideur du ressort k (en N.m-1) et de l'amplitude des oscillations xm (en m).
3. Conservation de l'énergie du système
a. Oscillateur non-amorti
Lorsque le système solide-ressort n'est soumis à aucun frottement, son amplitude xm ne change pas, donc l'énergie mécanique du système est constante.
Lorsque le système atteint sa déformation maximale (l'étirement ou la compression du ressort est alors maximum), l'énergie cinétique du système est nulle. En parallèle, l'énergie potentielle élastique du système est maximum lorsque la déformation du système est maximale.

À l'opposé, l'énergie cinétique atteint un maximum quand le ressort passe par sa position d'équilibre (x = 0), alors que l'énergie potentielle élastique est nulle à cette position.
 
L'énergie cinétique diminue pendant que l'énergie potentielle élastique du système augmente : l'énergie mécanique est donc constante, elle se conserve. Le système est donc conservatif.

 

b. Oscillateur amorti
Lorsque le système solide-ressort est soumis à des frottements, son amplitude xm diminue donc l'énergie mécanique du système diminue. Elle n'est plus constante donc ne se conserve pas.

La diminution de l'énergie mécanique est égale à la valeur absolue du travail (résistant) des forces de frottements exercées sur le solide.
 
 
L'essentiel :
• Énergie cinétique : .

• Énergie potentielle élastique : 
.

• Énergie mécanique : .

• Oscillateur non-amorti : Em est constante ; Ec diminue pendant que Epk augmente, et inversement. Le système est dit conservatif.

• Oscillateur amorti : Em diminue ; sa diminution est égale à la valeur absolue du travail (résistant) des forces de frottements exercées sur le solide.

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