Étude d'un système solide-ressort et des forces de frottements
Objectifs :
• Quelle est l'expression de l'énergie
mécanique d'un système solide-ressort ?
• Ce système constitue-t-il un système conservatif ?
• Ce système constitue-t-il un système conservatif ?
L'énergie cinétique d'un solide relie le
carré de la vitesse de ce solide et sa masse.
L'énergie potentielle de pesanteur d'un solide dépend de sa masse et de l'altitude où il se trouve.
Et l'énergie mécanique relie ces deux grandeurs.
L'énergie potentielle de pesanteur d'un solide dépend de sa masse et de l'altitude où il se trouve.
Et l'énergie mécanique relie ces deux grandeurs.
1. Le système solide-ressort
a. Le référentiel d'étude
Un repère 
est associé à un
référentiel terrestre,
considéré comme galiléen pour
des temps courts.
L'axe (Ox) de ce repère est choisi de telle sorte qu'il soit horizontal et "parallèle" à l'axe du ressort. Un solide, supposé indéformable, de masse m est relié au ressort de masse négligeable devant celle du solide, à spires non-jointives, de constante de raideur k et de longueur à vide Lo. Ce ressort est relié à l'autre extrémité à un point fixe.
Lorsque le système est immobile, à la date t = 0 s, le centre d'inertie G du solide coïncide avec l'origine du repère O.
Initialement, le ressort est écarté (comprimé ou étiré) de sa position d'équilibre d'une longueur
,
puis lâché sans vitesse initiale : le
système oscille alors autour de sa position
d'équilibre O.
est associé à un
référentiel terrestre,
considéré comme galiléen pour
des temps courts.L'axe (Ox) de ce repère est choisi de telle sorte qu'il soit horizontal et "parallèle" à l'axe du ressort. Un solide, supposé indéformable, de masse m est relié au ressort de masse négligeable devant celle du solide, à spires non-jointives, de constante de raideur k et de longueur à vide Lo. Ce ressort est relié à l'autre extrémité à un point fixe.
Lorsque le système est immobile, à la date t = 0 s, le centre d'inertie G du solide coïncide avec l'origine du repère O.
Initialement, le ressort est écarté (comprimé ou étiré) de sa position d'équilibre d'une longueur
,
puis lâché sans vitesse initiale : le
système oscille alors autour de sa position
d'équilibre O.
b. Bilan des forces appliquées au
système
Le solide est soumis à trois forces : son poids
, la
réaction du support 
et la
force de rappel 
exercée
par le ressort.
, la
réaction du support et la
force de rappel exercée
par le ressort.
c. Travaux des forces
Le poids 
et
la réaction 
du
support (en l'absence de frottement) ont des directions
perpendiculaires à l'axe (Ox), direction du
déplacement donc leur travail est nul :
et
Le travail total Wtotal du système est :
,
à laquelle correspond une énergie
potentielle élastique 
.
et
la réaction du
support (en l'absence de frottement) ont des directions
perpendiculaires à l'axe (Ox), direction du
déplacement donc leur travail est nul : et
Le travail total Wtotal du système est :
,
à laquelle correspond une énergie
potentielle élastique .
2. Paramètres influençant l'énergie
mécanique
On rappelle que :
.
• Le système solide-ressort constitue un
système oscillant.
Son allongement est donné par :
, où
xm
est l'amplitude (en m)
correspondant à un allongement maximum atteint
lors d'une oscillation, 
(en s) la
période propre
de l'oscillateur et
φ0(en rad) l'origine des phase
(décalage de la sinusoïde selon l'axe
horizontal des temps). xmet
φ0sont
déterminées par les conditions
initiales.
• La vitesse v du solide est la
dérivée de la position x : Son allongement est donné par :
, où
xm
est l'amplitude (en m)
correspondant à un allongement maximum atteint
lors d'une oscillation, (en s) la
période propre
de l'oscillateur et
φ0(en rad) l'origine des phase
(décalage de la sinusoïde selon l'axe
horizontal des temps). xmet
φ0sont
déterminées par les conditions
initiales.
.
a. Énergie cinétique
Démonstration :
;
où 
est la vitesse du centre d'inertie du solide.
Avec
,
l'expression de l'énergie cinétique devient
: 
.
;
où est la vitesse du centre d'inertie du solide.Avec
,
l'expression de l'énergie cinétique devient
: .
b. Énergie potentielle élastique
L'énergie potentielle élastique
Epk du système solide-ressort
est donnée par : 
.
.
L'énergie potentielle élastique est celle
que doit fournir un opérateur pour
étirer ou comprimer le ressort.
c. Énergie mécanique
L'énergie mécanique Em
du système est la somme de son
énergie cinétique Ec et
de son énergie potentielle élastique
Epk. On note Em =
Ec + Epk.
Démonstration :
car,
(relation trigonométrique).Em dépend donc de la raideur du ressort k (en N.m-1) et de l'amplitude des oscillations xm (en m).
3. Conservation de l'énergie du système
a. Oscillateur non-amorti
Lorsque le système solide-ressort n'est soumis
à aucun frottement, son amplitude
xm ne change pas, donc
l'énergie mécanique du système
est constante.
Lorsque le système atteint sa
déformation maximale (l'étirement
ou la compression du ressort est alors maximum),
l'énergie cinétique du
système est nulle. En parallèle,
l'énergie potentielle élastique du
système est maximum lorsque la
déformation du système est maximale.
À l'opposé, l'énergie cinétique atteint un maximum quand le ressort passe par sa position d'équilibre (x = 0), alors que l'énergie potentielle élastique est nulle à cette position.
L'énergie cinétique diminue pendant que
l'énergie potentielle élastique du
système augmente : l'énergie
mécanique est donc constante, elle
se conserve. Le système est donc
conservatif.
b. Oscillateur amorti
Lorsque le système solide-ressort est soumis
à des frottements, son amplitude
xm diminue donc l'énergie
mécanique du système diminue. Elle
n'est plus constante donc ne se conserve
pas.
La diminution de l'énergie mécanique est égale à la valeur absolue du travail (résistant) des forces de frottements exercées sur le solide.
La diminution de l'énergie mécanique est égale à la valeur absolue du travail (résistant) des forces de frottements exercées sur le solide.
L'essentiel :
• Énergie cinétique
: 
.
• Énergie potentielle élastique :
.
• Énergie mécanique :
.
• Oscillateur non-amorti : Em est constante ; Ec diminue pendant que Epk augmente, et inversement. Le système est dit conservatif.
• Oscillateur amorti : Em diminue ; sa diminution est égale à la valeur absolue du travail (résistant) des forces de frottements exercées sur le solide.
.• Énergie potentielle élastique :
.• Énergie mécanique :
.• Oscillateur non-amorti : Em est constante ; Ec diminue pendant que Epk augmente, et inversement. Le système est dit conservatif.
• Oscillateur amorti : Em diminue ; sa diminution est égale à la valeur absolue du travail (résistant) des forces de frottements exercées sur le solide.
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