Les représentations d'un nombre et les changements - Maxicours

Les représentations d'un nombre et les changements

Objectifs
  • Savoir écrire un nombre sous forme décimale, fractionnaire et scientifique.
  • Savoir passer d'une forme à l'autre.
Points clés
  • Un nombre décimal se compose d’une partie entière et d’une partie décimale finie, séparées par une virgule.
  • Il ne faut pas confondre « nombre » et « chiffre ». Un nombre décimal s’écrit à l’aide des 10 chiffres (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9).
  • Un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale est nulle.
  • Une fraction décimale a la forme , le numérateur a étant un entier et le dénominateur b étant un multiple de 10 (10, 100, 1 000, etc.). Dans une fraction, le numérateur et le dénominateur sont toujours des nombres entiers. Si l’un de ses nombres n'est pas un nombre entier, on l’appelle alors écriture fractionnaire.
  • Un nombre positif est écrit en notation scientifique lorsqu’il est écrit sous la forme suivante : avec a un nombre décimal tel que 1  a < 10 ; et n un nombre entier relatif.
  • Pour les valeurs qui dépassent la limite des 10 chiffres, la calculatrice utilise la notation scientifique. Elle exprime le nombre sous la forme .
  • Il est possible aussi de choisir le mode d'affichage « notation scientifique » symbolisé « sci ».
1. Les représentations d'un nombre
a. Représentation décimale

Le système décimal est le système le plus répandu dans le monde. Il permet avec peu de signes (chiffres) de représenter tous les nombres entiers et décimaux grâce à un système de positions (rangs).

Un nombre décimal se compose d’une partie entière et d’une partie décimale finie, séparées par une virgule.
Exemple 
Remarque 
Un nombre décimal ne change pas de valeur s’il comporte des zéros avant la partie entière ou après la partie décimale. On les appelle des « zéros inutiles ».
Exemples 
4,75200 = 4,752 ;
0048,7 = 48,7 ;
07,40300 = 7,403.
Attention !
Ne pas confondre « nombre » et « chiffre ». Un nombre décimal s’écrit à l’aide des 10 chiffres (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9).

Chaque chiffre d’un nombre décimal est repéré par son rang.

Exemple
Donner le rang des chiffres du nombre décimal 4,152.
Pour cela, on écrit le nombre dans le tableau ci-dessous :
Partie entière Partie décimale
Millions Milliers Unités simples
centaine dizaine unité c. d. u. c. d. u.
,
dixième centième millième
                 4 1 5 2
Dans le nombre 4,152 :
4 est le chiffre des unités, 1 est le chiffre des dixièmes, 5 est le chiffre des centièmes et 2 est le chiffre des millièmes.
Cas particulier : Les nombres entiers
Un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale est nulle.
Exemples de nombres entiers : 1 ; 15 ; 23 ; 1 500 ; 689 512.
Remarques 
  • 14 = 14,000…
  • Pour lire plus facilement les nombres entiers, on regroupe à partir des unités les chiffres par 3 : 25897456 s’écrira plutôt 25 897 456.
b. Représentation fractionnaire
Tout nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale. Une fraction décimale a la forme , où le numérateur a est un entier et le dénominateur b est un multiple de 10 (10, 100, 1 000, etc.).

Le nombre de zéros au dénominateur correspond au nombre de décimales du nombre :

  • Si le nombre a un seul chiffre après la virgule, le dénominateur de sa fraction décimale est égal à 10.
  • Si le nombre a deux chiffres après la virgule, le dénominateur de sa fraction décimale est égal à 100.
Exemple 
Représentation fractionnaire du nombre décimal 15,3

15,3 possède un seul chiffre après la virgule, le dénominateur est égal à 10.
Attention !
Dans une fraction, le numérateur et le dénominateur sont toujours des nombres entiers. Si l’un de ses nombres n'est pas un nombre entier, on l’appelle alors écriture fractionnaire.
c. Écriture scientifique

L'écriture scientifique est une forme d'écriture des nombres très petits ou très grands. Elle permet de raccourcir l'écriture de ces nombres. Elle est très utilisée dans des sciences comme l'astronomie ou la chimie.

L'écriture scientifique se compose toujours d'un nombre décimal plus grand que 1 et strictement plus petit que 10, suivi du symbole « × » et d'une puissance de 10. Un nombre positif est donc écrit en notation scientifique lorsqu’il est écrit sous la forme suivante :
.

avec a un nombre décimal tel que 1  a < 10 ; et n un nombre entier relatif.

Cette écriture permet d'avoir une idée de la grandeur d'un nombre sans avoir à compter tous ses zéros.

Exemples 
1 852 = 1,852 × 103
245,6 = 2,456 × 102

Les calculatrices sont capables d’afficher 10 chiffres. Pour les valeurs qui dépassent cette limite, la calculatrice utilise la notation scientifique. Elles expriment le nombre sous la forme .

Il est possible aussi de choisir le mode d'affichage « notation scientifique » symbolisé « sci ». Il faut le définir dans le « MODE » ou le « SET UP » suivant la marque de la calculatrice (voir le mode d'emploi de la calculatrice).

Quand la calculatrice est en notation scientifique, il faut écrire le nombre décimal et taper « exécuter » (ou son équivalent). Le nombre décimal apparait alors en écriture scientifique.

2. Passer d'une représentation à une autre
a. Passer d'une écriture décimale à une représentation fractionnaire
Exemple 
Écrire le nombre décimal 41,23 sous forme de fraction décimale.
  1. Écrire le décimal sous forme d'écriture fractionnaire.
    Pour cela, il faut mettre une barre de fraction sous le nombre décimal et positionner « 1 » en dénominateur.
  2. Obtenir une fraction avec un nombre entier au numérateur. Pour cela, il faut compter les chiffres après la virgule et multiplier le numérateur et le dénominateur par un multiple de 10.
    Rappels 
    • Si le nombre décimal a un seul chiffre après la virgule, le dénominateur est égal à 10.
    • Si le nombre décimal a deux chiffres après la virgule, le dénominateur est égal à 100.
    Pour le nombre 41,23, il y a deux chiffres après la virgule (23). Il faut donc multiplier par 100 le numérateur et le dénominateur :


    La fraction décimale du nombre 41,23 est .
b. Passer d'une représentation décimale à une écriture scientifique
Exemple 
Écrire le nombre décimal 415,23 sous forme de notation scientifique .
  1. Écrire le nombre décimal en positionnant la virgule juste après le premier chiffre.

    Le nombre décimal a donc deux virgules, « l'ancienne » virgule (entre le 5 et le 2) qui correspond à la virgule du nombre décimal, et la « nouvelle » virgule (entre le 4 et le 1) qui correspond à la future virgule du nombre sous forme de notation scientifique.
  2. Compter le nombre de chiffres entre les deux virgules. Il correspond à la puissance n.

    On trouve n = 2.
  3. Enlever « l'ancienne » virgule, ce nombre correspond à a.
    a = 4,1523
    Puis positionner, après a, le symbole « × » suivi de 10n en remplaçant n par sa valeur.
     4,1523 × 102
  4. Valider le résultat en le vérifiant.
    Première vérification :  a < 10. Sinon, c'est que la virgule a été mal positionnée à l'étape 1. 
    1 ≤ 4,1523 < 10 → Validé.
    Seconde vérification : la multiplication par la puissance de 10 permet de retrouver le nombre décimal.
    4,1523 × 102 = 415,23 → Validé.

    L'écriture scientifique de 415,23 est 4,1523 × 102.
Attention !
Si le nombre décimal est inférieur à 1, la méthodologie est identique mais la puissance devient négative.
Exemple 
Écrire le nombre décimal 0,00289 sous forme de notation scientifique.
  1. Écrire le nombre décimal en positionnant la virgule juste après le premier chiffre. 0,00289 → 0,002,89
  2. Compter le nombre de chiffres entre les deux virgules pour trouver la puissance n.
    n = 3 (002).

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