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Nombres premiers

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Objectifs
  • Simplifier une fraction et la rendre irréductible.
  • Décomposer un nombre entier naturel en produits de facteurs premiers.
Points clés
  • On appelle nombre premier un entier naturel qui n’admet que 2 diviseurs distincts : 1 et lui-même.
  • Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 peut s’écrire sous la forme d’un produit où chaque facteur est un nombre premier élevé à une puissance entière positive.

Nous allons définir un nombre premier à partir de la divisibilité des nombres, puis nous verrons que l’on peut décomposer tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 en produits de facteurs premiers.
On pourra utiliser cette propriété notamment pour simplifier une fraction et la rendre irréductible.

1. Diviseurs, multiples, divisible par...
Soit a et b deux entiers naturels non nuls.

Les quatre phrases ci-dessous ont la même signification :
  • a est un diviseur de b ;
  • b est divisible par a ;
  • le reste de la division euclidienne de b par a est égal à 0 ;
  • b est multiple de a.
Leur traduction en langage mathématique est :
II existe un entier naturel k tel que b = ka.
Exemples 
• 11 est un diviseur de 132 ;
• 132 est divisible par 11 ;
• le reste dans la division euclidienne de 132 par 11 est égal à 0 ;
• 132 est multiple de 11 et 132 = 12 × 11.
2. Nombres premiers
On appelle nombre premier un entier naturel qui n'admet que 2 diviseurs distincts : lui même et 1.
Les nombres 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.
Exemples 
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont des nombres premiers.
21 admet 4 diviseurs (1, 3, 7 et 21) donc ce n'est pas un nombre premier.
3. Décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers
Théorème (admis) 
Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 peut s’écrire sous la forme d’un produit où chaque facteur est un nombre premier élevé à une puissance entière positive.
Exemples 
  •   ;
  •  .

Utilisation de cette décomposition pour simplifier une fraction
Simplifions la fraction .
et donc :
.
6 et 5 n’ont aucun diviseur commun autre que 1, donc est une fraction irréductible.

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