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Triangles semblables

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Objectifs
  • Reconnaitre les triangles semblables.
  • Connaitre les propriétés qui les caractérisent.
Points clés
  • Lorsque les angles d'un triangle sont égaux aux angles d'un autre triangle, on dit que ces deux triangles sont semblables.
  • Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés sont deux à deux proportionnelles.
  • Si les longueurs des côtés de deux triangles sont deux à deux proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.
1. Définition
Dire que deux triangles sont semblables signifie que les angles de l’un sont égaux aux angles de l’autre. On dit aussi que les triangles sont « de même forme ».
2. Les angles et les côtés opposés
Lorsque deux triangles sont semblables :
  • un angle d’un triangle et l’angle de même mesure de l’autre triangle sont dits homologues ;
  • les côtés opposés de deux angles homologues sont aussi dits homologues.

Sur la figure ci-dessus, les côtés homologues sont de la même couleur.

3. Les longueurs
a. Propriété 1
Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés sont deux à deux proportionnelles.
Exemple 1
On considère les deux triangles semblables ci-dessous.
Si k < 1, alors EFG est une réduction du triangle ABC de rapport k.
Si k > 1, alors EFG est un agrandissement de ABC de rapport k.
Exemple 2 : calculer AB.
Les angles des triangles étant égaux, les longueurs de leurs côtés sont deux à deux proportionnelles.
On trouve  (produit en croix).
b. Propriété 2
Si les longueurs des côtés de deux triangles sont deux à deux proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.
Exemple 3 
Les longueurs des côtés de ces deux triangles sont deux à deux proportionnelles, donc ABC et EFG sont des triangles semblables.
ABC est un agrandissement de rapport 2 de EFG.

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