Notions de probabilités - Maxicours

Notions de probabilités

1. Vocabulaire des probabilités
a. Expériences aléatoires
On dit qu’une expérience est aléatoire lorsque les résultats possibles (ou issues) sont dus au hasard.

Exemples :

• « On lance une pièce de monnaie et on regarde la face visible » est une expérience aléatoire dont les issues sont Pile ou Face.

• « On lance un dé à 6 faces et on regarde la face du dessus » est une expérience aléatoire dont les issues sont : (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ou 6).

• « On tire 6 boules parmi 49 boules numérotées (jeu du loto) » est aussi une expérience aléatoire possédant un très grand nombre d’issues (13 983 816 tirages possibles).
b. Evènements
On appelle évènement un ensemble d’issues d’une expérience aléatoire.

Notation : Un évènement est souvent représenté par une lettre majuscule : A ; B….

Exemples :

• A : « Avoir la face Pile » est un évènement de l’expérience aléatoire : « lancer une pièce de monnaie et regarder la face visible »
Cet évènement ne comporte qu’une seule issue : C’est un évènement élémentaire.

• B : « Obtenir un nombre pair » est un évènement de l’expérience aléatoire : « Lancer un dé à 6 faces et noter la face du dessus. »
Cet évènement est composé des issues : « 2 ; 4 ou 6 ».
2. Probabilité d'un évènement
Lorsque l’on réalise un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un évènement tend vers une valeur appelée probabilité de cet évènement.
Notation : Si A est un évènement d’une expérience aléatoire, on note P(A) la probabilité d’obtenir l’évènement A.

Exemples :

• Considérons l’évènement élémentaire A : obtenir « Pile » lors du lancer d’une pièce non truquée.
Si on réalise un très grand nombre de lancers de cette pièce, la fréquence d’apparition tendra vers  . On dira que la probabilité d’obtenir A est de  , soit P(A) = . Intuitivement, on dit aussi que l’on a une chance sur 2 d’obtenir « Pile » à cette expérience.

• Considérons l’évènement C : « Obtenir 5 sur la face du dessus » lors du lancer d’un dé à 6 faces non truqué ». Dans la pratique, si on réalisait un très grand nombre de tirage, la fréquence d’apparition se rapprocherait de donc P(B) .

Equiprobabilité : On dit que l’on est dans une situation d’équiprobabilité lorsque toutes les issues d’une expérience aléatoire ont la même probabilité.

La probabilité d’un évènement équiprobable est égale à :


Exemple : Reprenons l’exemple précédent de l’événement B « Obtenir un nombre pair » lors du lancer d’un dé à 6 faces non truqué ». Toutes les issues ont la même probabilité de sortir puisque le dé est non truqué. Il y a donc 3 issues qui réalisent cet événement, parmi 6 issues au total. Il y aura donc 3 chances sur 6 d’obtenir un nombre pair soit une probabilité .
Propriétés :
• La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1
• Un événement impossible A est un événement qui ne peut se réaliser, soit P(A) = 0
• Un événement certain B est un événement qui est sûr de se réaliser, soit P(B) = 1

Exemples :
« Obtenir un nombre strictement plus grand que 6 » est un événement impossible de l’expérience « lancer un dé classique à 6 faces »
« Obtenir un nombre inférieur ou égal à 6 » est un événement certain de l’expérience « lancer un dé classique à 6 faces »
3. Evènements particuliers
a. Evènements incompatibles
On dit que deux évènements sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Exemple : Soit C l'évènement « Obtenir un 5 » et D l'évènement « Obtenir 6 » sont deux événements incompatibles de l’expérience aléatoire « Lancer un dé à 6 faces et noter la face du dessus. »

Propriété : La probabilité que 2 événements incompatibles se réalisent l’un ou l’autre est égale à la somme de leur probabilité.
En reprenant l’exemple précédent, on a P(C) =   et P(D) =   donc la probabilité de l’événement E : « Obtenir un 5 ou un 6 » est égale à P(E) = P(C) + P(D) = = = .
b. Evénements contraires
On dit qu’un événement est contraire à un événement A s’il se réalise lorsque A ne se réalise pas.
Exemple : Lors du lancer d’un dé classique à 6 faces, les événements F « Obtenir un 6 » et G « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 » sont contraires. Si on obtient un 6, on ne peut forcément pas obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 et inversement.

Propriété : La probabilité d’obtenir l’événement contraire à un événement A est égale à 1 – P(A).
Exemple : Considérons les événements F et G précédents ;
on sait que P(F) =   et comme les évènements F et F sont contraires, alors  P(G) = 1 - P(F) ;
soit : P(G) .
4. Arbres de probabilités
Afin de mieux se représenter les issues possibles d’une expérience aléatoire, on peut établir un arbre de probabilités :

Exemple 1 : Expérience à une épreuve
Une urne contient 2 boules rouges (R1 et R2) et 1 boule verte (V1). On tire au hasard une boule dans cette urne et on note sa couleur.

On peut présenter l’arbre de probabilités correspondant à cette situation de 2 manières :
 
ou
  
Sur le schéma de gauche, on a répertorié toutes les issues possibles (branches de l’arbre).
Sur le schéma de droite, on a répertorié les différentes possibilités de couleur tirée (Rouge ou Vert). Sur chaque branche, on a mis la probabilité que l’on tire une boule Rouge ou celle de tirer une boule Verte .
Dans les deux cas, cela permettra de donner rapidement les probabilités des événements liés à cette expérience aléatoire.
Remarque : la somme des probabilités de chaque branche est égale à 1.

Exemple 2 : expérience à 2 épreuves
Dans la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l’urne. On réitère cette expérience une 2e fois. On dit que cette expérience est à 2 épreuves.
On peut ainsi établir un arbre de probabilité :


Cet arbre nous a permis d’établir la liste de toutes les issues possibles (9 issues) et de calculer des probabilités des événements suivants :
A : « les 2 boules sont de la même couleur »
B : « la 2e boule tirée est verte »

On a p(A) = :  il y a 5 issues qui correspondent à cet événement sur les 9 issues possibles.
Et p(B) = : il y a 3 issues qui correspondent à cet événement sur les 9 possibles.

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