Notions de probabilités
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Comprendre les notions de probabilités.
- On dit qu’une expérience est aléatoire lorsque les résultats possibles (ou issues) sont dus au hasard.
- On appelle évènement un ensemble d’issues d’une expérience aléatoire.
- Lorsque l’on réalise un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un évènement tend vers une valeur appelée probabilité de cet évènement.
- On dit que l’on est dans une situation d’équiprobabilité lorsque toutes les issues d’une expérience aléatoire ont la même probabilité.
- La probabilité d’un
évènement équiprobable est
égale à :
- La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1.
- Un événement impossible A est un événement qui ne peut se réaliser, soit P(A) = 0.
- Un événement certain B est un événement qui est sûr de se réaliser, soit P(B) = 1.
- On dit que deux évènements sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. La probabilité que 2 événements incompatibles se réalisent l’un ou l’autre est égale à la somme de leur probabilité.
- On dit qu’un événement est contraire à un événement A s’il se réalise lorsque A ne se réalise pas. La probabilité d’obtenir l’événement contraire à un événement A est égale à 1 – P(A).
- « On lance une pièce de monnaie et on regarde la face visible » est une expérience aléatoire dont les issues sont Pile ou Face.
- « On lance un dé à 6 faces et on regarde la face du dessus » est une expérience aléatoire dont les issues sont : (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ou 6).
- « On tire 6 boules parmi 49 boules numérotées (jeu du loto) » est aussi une expérience aléatoire possédant un très grand nombre d’issues (13 983 816 tirages possibles).
Notation : Un évènement est souvent représenté par une lettre majuscule : A ; B….
- A : « Avoir la face Pile » est un
évènement de l’expérience
aléatoire : « lancer une pièce de
monnaie et regarder la face visible »
Cet évènement ne comporte qu’une seule issue : C’est un évènement élémentaire. - B : « Obtenir un nombre pair » est un
évènement de l’expérience
aléatoire : « Lancer un dé
à 6 faces et noter la face du dessus.
»
Cet évènement est composé des issues : « 2 ; 4 ou 6 ».
Notation : Si A est un évènement d’une expérience aléatoire, on note P(A) la probabilité d’obtenir l’évènement A.
- Considérons l’évènement
élémentaire A : obtenir « Pile
» lors du lancer d’une pièce non
truquée.
Si on réalise un très grand nombre de lancers de cette pièce, la fréquence d’apparition tendra vers
. On dira que la probabilité
d’obtenir A est de 
, soit P(A) = 
. Intuitivement, on dit aussi que
l’on a une chance sur 2 d’obtenir «
Pile » à cette expérience.
- Considérons l’évènement C : « Obtenir 5 sur la face du dessus » lors du lancer d’un dé à 6 faces non truqué ». Dans la pratique, si on réalisait un très grand nombre de tirage, la fréquence d’apparition se rapprocherait de donc P(B) .
La probabilité d’un évènement équiprobable est égale à :
Reprenons l’exemple précédent de l’événement B « Obtenir un nombre pair » lors du lancer d’un dé à 6 faces non truqué ». Toutes les issues ont la même probabilité de sortir puisque le dé est non truqué. Il y a donc 3 issues qui réalisent cet événement, parmi 6 issues au total. Il y aura donc 3 chances sur 6 d’obtenir un nombre pair soit une probabilité P(B) =
.
- La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1.
- Un événement impossible A est un événement qui ne peut se réaliser, soit P(A) = 0.
- Un événement certain B est un événement qui est sûr de se réaliser, soit P(B) = 1.
« Obtenir un nombre strictement plus grand que 6 » est un événement impossible de l’expérience « lancer un dé classique à 6 faces »
« Obtenir un nombre inférieur ou égal à 6 » est un événement certain de l’expérience « lancer un dé classique à 6 faces »
Soit C l'évènement « Obtenir un 5 » et D l'évènement « Obtenir 6 » sont deux événements incompatibles de l’expérience aléatoire « Lancer un dé à 6 faces et noter la face du dessus. »
La probabilité que 2 événements incompatibles se réalisent l’un ou l’autre est égale à la somme de leur probabilité.
En reprenant l’exemple précédent,
on a P(C) = 
et P(D) = 
donc la probabilité de
l’événement E :
« Obtenir un 5 ou un 6 » est
égale à P(E) = P(C) + P(D) = 
.
Lors du lancer d’un dé classique à 6 faces, les événements F « Obtenir un 6 » et G « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 » sont contraires. Si on obtient un 6, on ne peut forcément pas obtenir un nombre inférieur ou égal à 5 et inversement.
La probabilité d’obtenir l’événement contraire à un événement A est égale à 1 – P(A).
Considérons les événements F et G précédents ;
on sait que P(F) =
et comme les évènements
F et F sont contraires, alors P(G) = 1 –
P(F) ; soit : P(G) = 
.
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