Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels - Maxicours

Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels

Objectif

Savoir comparer, ranger et encadrer des nombres rationnels.

Points clés
  • Pour comparer deux nombres rationnels, il faut écrire les deux fractions sur le même dénominateur et ensuite comparer leur numérateur.
  • Ranger des nombres rationnels, c’est les classer dans l'ordre croissant ou décroissant en comparant deux à deux ces nombres rationnels.
  • Encadrer un nombre rationnel par deux entiers consécutifs, c’est l’encadrer par sa partie entière et sa partie entière plus 1.

Pour l'écriture fractionnaire , a est son numérateur et b son dénominateur (avec ).

On parle de fraction lorsque a et b sont des nombres entiers.

Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction.

1. Comparer deux nombres rationnels
a. Comparer un nombre rationnel positif avec l'unité
Un nombre rationnel positif est plus grand que 1 si son numérateur est plus grand que son dénominateur.
Un nombre rationnel positif est plus petit que 1 si son numérateur est plus petit que son dénominateur.
Exemples 
 , , sont des nombres rationnels positifs plus grands que 1.

 , , sont des nombres rationnels positifs plus petits que 1.
b. Comparer deux nombres rationnels positifs entre eux
Si les deux nombres rationnels positifs ont le même dénominateur, le nombre le plus grand est celui qui a le plus grand numérateur.
Exemple 
Les fractions et  ont le même dénominateur (5). 7 > 3 donc .
Si les deux nombres rationnels positifs n’ont pas le même dénominateur, on les écrit sur le même dénominateur et on se ramène ainsi au premier cas : le nombre le plus grand est celui qui a le plus grand numérateur.
Exemple 
Les fractions et n’ont pas le même dénominateur.
Écrivons ces deux fractions avec le même dénominateur : par exemple, 12 qui est un multiple de 4 et de 6.

On a et .

9 < 10 donc , puis .
Remarques 
  • Pour comparer deux nombres rationnels négatifs, il faut comparer leurs valeurs numériques (sans le signe) puis inverser l’ordre de l’inégalité.
  • Par exemple, pour comparer et , on sait que donc on a ou bien .
  • Entre un nombre rationnel positif et un nombre rationnel négatif, le plus grand est celui qui est positif.
2. Ranger des nombres rationnels
Il s'agit d’ordonner les nombres rationnels de la plus petite valeur à la plus grande (ordre croissant) ou de la plus grande valeur à la plus petite (ordre décroissant).

Il faut donc effectuer plusieurs fois la comparaison de deux nombres rationnels.

Exemple 
Rangeons les nombres rationnels suivants dans l’ordre croissant : ; ; ; .
Tout d’abord, et sont plus petits que 1 (1 < 2 et 2 < 5) et  et sont plus grands que 1 (7 > 3 et 12 > 4).
et sont donc les deux plus petits nombres rationnels et et les deux plus grands.
  1. Comparons et . Écrivons-les avec le dénominateur 10 qui est un multiple de 2 et de 5 :

    et .

    4 < 5 donc , puis .
  2. Comparons et .
    Écrivons-les avec le dénominateur 12 qui est un multiple de 3 et de 4 :

    et .

    28 < 36 donc , puis .
  3. Concluons.
    Finalement, on a donc : .
3. Encadrer des nombres rationnels par deux entiers consécutifs
Encadrer un nombre rationnel par deux entiers consécutifs, c’est l’encadrer par sa partie entière et sa partie entière plus 1.
Comment faire ?

Par exemple, encadrons la fraction par deux entiers consécutifs.

  1. Identifier la partie entière de la fraction en la décomposant.

    Ici, donc la partie entière de est 2.

    Ce nombre sera la borne inférieure de notre encadrement.

  2. Ajouter 1 au nombre trouvé pour obtenir la borne supérieure de l'encadrement.

    2 + 1 = 3, donc l’encadrement de par deux entiers consécutifs est .

Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

quote blanc icon

Découvrez Maxicours

Exerce toi en t’abonnant

Des profs en ligne

  • 6j/7 de 17 h à 20 h
  • Par chat, audio, vidéo
  • Sur les matières principales

Des ressources riches

  • Fiches, vidéos de cours
  • Exercices & corrigés
  • Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques

  • Coach virtuel
  • Quiz interactifs
  • Planning de révision

Des tableaux de bord

  • Suivi de la progression
  • Score d’assiduité
  • Un compte Parent