Expressions littérales et simplifications
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Objectifs
- Reconnaitre une expression littérale.
- Simplifier et réduire l'écriture d'une expression littérale.
Points clés
- Une expression littérale est une expression dans laquelle figure une ou plusieurs lettres.
- Des conventions d’écritures et des règles de calculs permettent de simplifier les expressions littérales : ne pas écrire le symbole « × » dans certains cas, supprimer des parenthèses, etc.
- On peut aussi réduire une expression littérale, c'est-à-dire diminuer le nombre d’opérations qui la composent, pour que cette expression soit plus simple.
1. Qu'est ce qu'une expression littérale ?
Une expression littérale est une expression
dans laquelle figure une ou plusieurs lettres.
Chacune des lettres représente un nombre variable.
Chacune des lettres représente un nombre variable.
Exemples
• 3x + 17 et 2a + 3b + 7 sont des expressions littérales ;
• les formules d’aires et de périmètres sont aussi des expressions littérales : l’expression de l’aire d’un carré de côté c est c × c = c2 et celle de son périmètre est 4c.
• 3x + 17 et 2a + 3b + 7 sont des expressions littérales ;
• les formules d’aires et de périmètres sont aussi des expressions littérales : l’expression de l’aire d’un carré de côté c est c × c = c2 et celle de son périmètre est 4c.
Méthode pour calculer la valeur d’une
expression littérale pour un nombre
donné :
Par exemple, calculons la valeur de l’expression littérale A = x2 + 3x − 7 pour x = –2.
- On remplace par –2 à chaque fois que
x apparait
dans l’expression littérale.
A = (–2)2 + 3 × (–2) – 7 - On effectue le calcul.
A = 4 – 6 – 7
A = –9
2. Simplifier l'écriture d'une expression
littérale
a. Conventions d'écritures
Afin de simplifier les écritures littérales, on adoptera quelques conventions :
- 0 × x = 0, 1 × x = x et –1 × x = –x ;
- Le signe « × » est
supprimé entre 2 lettres ou devant une
lettre ;
Exemples : 2 × b = 2b ou 3 × x × y = 3xy.
- Le signe « × » est
supprimé entre 2 parenthèses ou devant
une parenthèse ;
Exemples
3 × (a + 5) = 3(a + 5)ou (x – 2) × (y + 3) = (x – 2)(y + 3). - Par convention, dans le produit d’un nombre
et d’une lettre, on place le nombre devant la
lettre.
Exemples : x × 4 = 4x ou 2 × y × 9 = 18y.
b. Suppression des parenthèses
Dans une expression littérale composée
d’additions et de soustractions, on peut
supprimer les parenthèses
précédées d’un signe
+, sans changer les signes à
l’intérieur de la parenthèse.
Exemple
A = 3x + (+4x – 7)
A = 3x + 4x – 7 → Suppression de la parenthèse sans en changer l'intérieur
A = 7x – 7 → Réduction de l'expression littérale
A = 3x + (+4x – 7)
A = 3x + 4x – 7 → Suppression de la parenthèse sans en changer l'intérieur
A = 7x – 7 → Réduction de l'expression littérale
Dans une expression littérale composée
d’additions et de soustractions, on peut
supprimer des parenthèses
précédées d’un signe
– , en changeant chaque signe à
l’intérieur de la parenthèse.
Exemple
B = 9x – (–6x + 7)
B = 9x + 6x – 7 → Suppression de la parenthèse en changeant les signes à l'intérieur
B = 15x – 7 → Réduction de l'expression littérale
B = 9x – (–6x + 7)
B = 9x + 6x – 7 → Suppression de la parenthèse en changeant les signes à l'intérieur
B = 15x – 7 → Réduction de l'expression littérale
3. Réduire une expression littérale
Réduire une expression littérale
revient à diminuer le nombre
d’opérations la composant.
En pratique, réduire une expression revient à rassembler les termes en « x2 », en « x » et les constantes.
Exemples : Réduisons les expressions A et
B.
A = 4x + 8x = (4 + 8)x = 12x
L’expression est bien réduite car on est passé de 3 opérations (2 multiplications et une addition) à une seule multiplication au résultat.
On a réduit l’expression littérale en utilisant la formule de distributivité :
.
B = 2y2 + 3y − 4 + 4y2 − 2y + 1
B = (2 + 4)y2 + (3 − 2)y + (−4 + 1)
B = 6y2 + y − 3
On ne peut réduire davantage car cette expression littérale est composée d’éléments différents :
y2 ; y et −3.
A = 4x + 8x = (4 + 8)x = 12x
L’expression est bien réduite car on est passé de 3 opérations (2 multiplications et une addition) à une seule multiplication au résultat.
On a réduit l’expression littérale en utilisant la formule de distributivité :
.B = 2y2 + 3y − 4 + 4y2 − 2y + 1
B = (2 + 4)y2 + (3 − 2)y + (−4 + 1)
B = 6y2 + y − 3
On ne peut réduire davantage car cette expression littérale est composée d’éléments différents :
y2 ; y et −3.
4. Ordonner une expression
Ordonner une expression littérale revient
à écrire les termes dans l’ordre de
puissances décroissantes ou croissantes de
x.
Rappel
x = x1 et 1 = x0.
x = x1 et 1 = x0.
Exemple : Ordonner l'expression 23x – 56 − 2x2.
23x – 56 − 2x2 n'est pas une expression ordonnée car elle est égale à 23x1 − 56x0 − 2x2.
Les puissances de x sont 1, 0 et 2. Les nombres 1, 0 et 2 ne sont rangés ni dans l'ordre croissant ni dans l'ordre décroissant.
On ordonne cette expression de deux manières différentes :
23x – 56 − 2x2 = −56 + 23x − 2x2 = −2x2 + 23x − 56.
23x – 56 − 2x2 n'est pas une expression ordonnée car elle est égale à 23x1 − 56x0 − 2x2.
Les puissances de x sont 1, 0 et 2. Les nombres 1, 0 et 2 ne sont rangés ni dans l'ordre croissant ni dans l'ordre décroissant.
On ordonne cette expression de deux manières différentes :
23x – 56 − 2x2 = −56 + 23x − 2x2 = −2x2 + 23x − 56.
Remarque
En règle générale, on ordonne dans l’ordre des puissances décroissantes.
En règle générale, on ordonne dans l’ordre des puissances décroissantes.
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