Expressions littérales et simplifications - Maxicours

Expressions littérales et simplifications

Objectifs
  • Reconnaitre une expression littérale.
  • Simplifier et réduire l'écriture d'une expression littérale.
Points clés
  • Une expression littérale est une expression dans laquelle figure une ou plusieurs lettres.
  • Des conventions d’écritures et des règles de calculs permettent de simplifier les expressions littérales : ne pas écrire le symbole « × » dans certains cas, supprimer des parenthèses, etc.
  • On peut aussi réduire une expression littérale, c'est-à-dire diminuer le nombre d’opérations qui la composent, pour que cette expression soit plus simple.
1. Qu'est ce qu'une expression littérale ?
Une expression littérale est une expression dans laquelle figure une ou plusieurs lettres.
Chacune des lettres représente un nombre variable.
Exemples
• 3x + 17 et 2a + 3b + 7 sont des expressions littérales ;
• les formules d’aires et de périmètres sont aussi des expressions littérales : l’expression de l’aire d’un carré de côté c est c × c = c2 et celle de son périmètre est 4c.
Méthode pour calculer la valeur d’une expression littérale pour un nombre donné :

Par exemple, calculons la valeur de l’expression littérale A = x2 + 3x − 7 pour x = –2.

  1. On remplace par –2 à chaque fois que x apparait dans l’expression littérale.
    A = (–2)2 + 3 × (–2) – 7
  2. On effectue le calcul.
    A = 4 – 6 – 7
    A = –9
2. Simplifier l'écriture d'une expression littérale
a. Conventions d'écritures

Afin de simplifier les écritures littérales, on adoptera quelques conventions :

  • × x = 0, 1 × x = x et –1 × x = –x ;
  • Le signe « × » est supprimé entre 2 lettres ou devant une lettre ;
    Exemples : 2 × b = 2b ou 3 × x × y = 3xy.
  • Le signe « × » est supprimé entre 2 parenthèses ou devant une parenthèse ;
    Exemples 
    3 × (a + 5) = 3(a + 5)ou (x – 2) × (y + 3) = (x – 2)(y + 3).
  • Par convention, dans le produit d’un nombre et d’une lettre, on place le nombre devant la lettre.
    Exemples : x × 4 = 4x ou 2 × y × 9 = 18y.
b. Suppression des parenthèses
Dans une expression littérale composée d’additions et de soustractions, on peut supprimer les parenthèses précédées d’un signe +, sans changer les signes à l’intérieur de la parenthèse.
Exemple 
A = 3x + (+4x – 7)
A = 3x + 4x – 7        → Suppression de la parenthèse sans en changer l'intérieur
A = 7x – 7                → Réduction de l'expression littérale
Dans une expression littérale composée d’additions et de soustractions, on peut supprimer des parenthèses précédées d’un signe – , en changeant chaque signe à l’intérieur de la parenthèse.
Exemple 
B = 9x – (–6x + 7)
B = 9x + 6x – 7       → Suppression de la parenthèse en changeant les signes à l'intérieur
B = 15x – 7             → Réduction de l'expression littérale
3. Réduire une expression littérale
Réduire une expression littérale revient à diminuer le nombre d’opérations la composant.

En pratique, réduire une expression revient à rassembler les termes en « x2 », en « x » et les constantes.

Exemples : Réduisons les expressions A et B.
A = 4x + 8x = (4 + 8)x = 12x
L’expression est bien réduite car on est passé de 3 opérations (2 multiplications et une addition) à une seule multiplication au résultat.
On a réduit l’expression littérale en utilisant la formule de distributivité : .

B = 2y2 + 3y − 4 + 4y2 − 2y + 1
B = (2 + 4)y2 + (3 − 2)y + (−4 + 1)
B = 6y2 + y − 3
On ne peut réduire davantage car cette expression littérale est composée d’éléments différents :
y2 ; y et  −3.
4. Ordonner une expression
Ordonner une expression littérale revient à écrire les termes dans l’ordre de puissances décroissantes ou croissantes de x.
Rappel 
x = x1 et 1 = x0.
Exemple : Ordonner l'expression 23x – 56 − 2x2.
23x – 56 − 2x2 n'est pas une expression ordonnée car elle est égale à 23x1 − 56x0 − 2x2.
Les puissances de x sont 1, 0 et 2. Les nombres 1, 0 et 2 ne sont rangés ni dans l'ordre croissant ni dans l'ordre décroissant.
On ordonne cette expression de deux manières différentes :
23x – 56 − 2x2 = −56 + 23x − 2x2 = −2x2 + 23x − 56.
Remarque
En règle générale, on ordonne dans l’ordre des puissances décroissantes.

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