Utiliser le calcul littéral - Maxicours

Utiliser le calcul littéral

Objectif

Utiliser le calcul littéral.

Points clés
On peut utiliser le calcul littéral pour montrer un résultat général ou pour valider ou réfuter une conjecture.

Donnons quelques exemples de calcul littéral dans plusieurs domaines des mathématiques.

1. Arithmétique
Exemple 1 
L’affirmation suivante est elle vraie ?
« Si n est un entier, alors (n – 1)(n + 1) + 1 est toujours égal au carré d’un entier. »

En utilisant l’identité remarquable (a – b)(a + b) = a2 – b2 avec n et b = 1, on a :
(n – 1)(n + 1) + 1 = n2 – 1 + 1 = n2 pour tout n entier.
Donc si n est un entier, (n – 1)(n + 1) + 1 est toujours égal au carré d’un entier.
L’affirmation est vraie.
Exemple 2 (tiré du sujet de Brevet Métropole–Antilles–Guyane Septembre 2014) 
Leïla pense qu’en multipliant deux nombres impairs consécutifs (c'est-à-dire qui se suivent) et en ajoutant 1, le résultat obtenu est toujours un multiple de 4.
  1. 9 et 11 sont deux nombres impairs consécutifs. Calculer et dire si Léa a raison sur cet exemple.
  2. Développer et réduire l’expression .
  3. Un nombre impair s’écrit sous la forme x est un entier naturel. Montrer que le nombre impair suivant est , puis monter que Leïla avait raison.
  1. donc est un multiple de 4. Sur cet exemple, Leïla a raison.
  2. En utilisant la formule de la double distributivité :.
  3. On considère un nombre impair qui s’écrit sous la forme x est un entier naturel.
Le nombre impair suivant est puisque la différence entre deux nombres impairs consécutifs est toujours 2.
En multipliant ces deux nombres impairs consécutifs et en ajoutant 1, on obtient l’expression :
.
D’après la question 2., , qui est un multiple de 4.
Leïla a donc raison : « en multipliant deux nombres impairs consécutifs et en ajoutant 1, le résultat obtenu est toujours un multiple de 4 ».
2. Géométrie
Exemple (tiré du sujet de Brevet Amérique du Sud Novembre 2013) 
On considère un rectangle ABCD tel que son périmètre soit égal à 31 cm.

  1. Si un tel rectangle a pour longueur 10 cm, quelle est sa largeur ?
  2. Soit x la longueur AB. En utilisant le fait que le périmètre de ABCD est de 31 cm, exprimer la longueur BC en fonction de x.
  3. En déduire l’aire du rectangle ABCD en fonction de x.
  1. En notant l la largeur du rectangle ABCD, L sa longueur et P son périmètre, on a :
    P = 31 cm et L = 10 cm, donc :
     
    2l = 31 – 20 = 11
    .
    Si la longueur du rectangle ABCD est de 10 cm, sa largeur est de 5,5 cm.
  2. On a AB = x et l = BC, donc :



    .
    Si on note x la longueur du rectangle ABCD, l’expression de sa largeur est 15,5 – x (avec x compris entre 0 et 10).
  3. En notant l la largeur du rectangle ABCD, L sa longueur et A son périmètre, on a : .
Ici, on a donc : .
3. Programmes de calcul
Exemple 1 (tiré du sujet de Brevet Centres étrangers Juin 2012) 
On considère les programmes suivants :
Programme A
  • Choisir un nombre ;
  • Lui ajouter 1 ;
  • Calculer le carré de la somme obtenue ;
  • Soustraire au résultat le carré du nombre de départ.

Programme B

  • Choisir un nombre ;
  • Ajouter 1 au double de ce nombre.
  1. On choisit 5 comme nombre de départ. Quel résultat obtient-on avec chacun des deux programmes ?
  2. Démontrer que, quel que soit le nombre choisi, les résultats obtenus avec les deux programmes sont toujours égaux.
  1. Avec le programme A, on obtient successivement : 5 + 1 = 6 ; 62 = 36 ; 36 – 52 = 36 – 25 = 11.
    Avec le programme B, on obtient : .
    On obtient le même résultat avec les deux programmes.
  2. Notons x le nombre choisi au départ.
    Avec le programme A, on obtient successivement : x + 1 ; (x + 1)2 ; (x + 1)2 – x2.
    Avec le programme B, on obtient : 2x + 1.

En utilisant l’identité remarquable a2 – b2 = (a – b)(a + b) avec a = x + 1 et b = x, on a :
(x + 1)2 – x2 = (x + 1 – x)(x + 1 + x) = 2x + 1.
Quel que soit le nombre choisi au départ, les résultats obtenus avec les deux programmes sont donc toujours égaux.

Exemple 2 (tiré du sujet de Brevet Métropole–La Réunion–Antilles–Guyane Septembre 2015) 
On considère le programme de calcul suivant :
  • Choisir un nombre ;
  • Soustraire 6 ;
  • Multiplier le résultat par le nombre choisi ;
  • Ajouter 9.
  1. Vérifier que lorsque le nombre choisi est 11, le résultat du programme est 64.
  2. Malik affirme que, quel que soit le nombre choisi au départ, le résultat du programme est toujours un nombre positif. A-t-il raison ?
  1. Lorsque le nombre choisi est 11, on obtient successivement : 11 – 6 = 5 ; 5 × 11 = 55 ; 55 + 9 = 64.
  2. Notons x le nombre choisi au départ. On obtient successivement : x – 6 ; x(x – 6) ; x(x – 6) + 9.
Or , donc le résultat du programme est toujours un nombre positif car (x – 3)2 est un carré.

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