Les mathématiques sont-elles le modèle de toute démonstration ?

Ne s’occupant pas de la réalité sensible mais simplement des propriétés (essences) des figures et des nombres, les mathématiques sont exemplaires du point de vue de leur démonstration. Par exemple, le théorème selon lequel le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, vaut pour tout triangle. De plus la vérité d’un théorème est non seulement nécessaire (ce dont le contraire est impossible) mais apodictique c’est-à-dire toujours vraie. Même si les mathématiques ont progressé, les géométries non-euclidiennes en témoignent, elles ont une histoire continue et sans rupture. Contrairement aux sciences physiques, les vérités mathématiques nouvellement découvertes n’abolissent jamais le passé en l’intégrant.

Les mathématiques sont donc exemplaires en ce qu’elles représenteraient une autre norme de vérité : elles n’emploient aucun terme qui ne soit préalablement défini, toutes ses propositions ou théorèmes sont démontrés et enfin elles réduisent au minimum l’indéterminé. Spinoza dans l’Ethique confirme cette idée « que le genre humain fût à jamais ignorant de la vérité, si les mathématiques, occupées non des fins mais seulement des essences et des propriétés des figures, n’avaient fait luire devant les hommes une autre norme de vérité ».

Toutefois si les mathématiques sont exemplaires dans leur raisonnement, c’est parce qu’elles sont une exception : leurs objets ne supposent aucune indétermination humaine puisqu’ils sont purs de toute expérience et de toute matière, leur méthode est hypothético-déductive en ce qu’elles partent de principes et de définitions à partir desquelles elles déduisent logiquement un corps de propositions vraies parce que démontrées. Elles sont  donc exceptionnelles parce que purement formelles c’est-à-dire indépendantes de la matière et de l’expérience en général.

Aristote montre que l’objet mathématique est abstrait puisqu’il sépare par la pensée ce qui est inséparable dans la réalité sensible. Autrement dit, pour que les mathématiques soient un modèle, il faut pouvoir les appliquer à d’autres objets que l’objet mathématique. Il faut ainsi transférer ce modèle soit en l’élargissant, soit en le réformant.

Si les mathématiques apparaissent comme un modèle de rigueur pour la connaissance en raison de la certitude absolue qu’engendre leurs démonstrations, elles indiquent la voie de toute connaissance véritable par la certitude de leurs raisons.

Mais on ne peut appliquer les mathématiques aux sciences qu’à la condition d’élargir leur méthode. La « Mathesis Universalis » de Descartes repose sur un tel projet. Prenant les mathématiques comme modèle de certitude, Descartes tente d’en élargir la portée en définissant une méthode reposant sur l’intuition des évidences et sur l’ordre des raisons. Les quatre préceptes du Discours de la méthode ne se réduisent pas à la mathématique comme science particulière, ils sont inspirés de la démonstration mathématique tout en recherchant son fondement. A cet égard, les Méditations métaphysiques commencent par une remise en doute des vérités mathématiques elles-mêmes afin de découvrir les vérités premières et métaphysiques (l’existence de Dieu et du Cogito). Que peut-on en déduire ?

La démonstration mathématique suppose une méthode universelle mais elle est incapable d’elle-même de fournir cette méthode. Platon montrait déjà que les mathématiques sont hypothétiques en raison du point de départ arbitraire de leur commencement. Entre l’opinion et l’intelligence, elles ouvrent la voie à une science plus universelle, la dialectique.

Ainsi pour pouvoir élargir la portée des mathématiques, il faut nécessairement les réformer, ce qui conduit plus radicalement à en montrer les limites. Désormais comment envisager les limites du modèle, à la fois internes et externes, au sens de l’usage qu’on peut en faire en dehors des mathématiques ?

La démonstration mathématique repose sur des principes ou des points de départ (postulats et axiomes) eux-mêmes indémontrables. L’argument repose sur une régression à l’infini : pour démontrer, il faut raisonner en partant de principes. Or si ces principes sont démontrables alors il faut les démontrer au moyen d’autres principes qui eux-mêmes doivent être démontrés et ce, à l’infini. Par conséquent, la démonstration doit partir de principes qui eux-mêmes ne peuvent être démontrés. Il n’y a donc pas de démonstration parfaite au sens où tout serait démontré et tout défini. Ceci n’invalide pas la portée démonstrative des mathématiques mais permet de penser leur idéal comme relatif et non absolu. Pascal part de l’idée d’une mathématique idéale pour montrer les limites de la mathématique réelle et la nécessité de recourir à un autre ordre que le raisonnement pour s’assurer de la vérité de leurs principes.

Enfin la crise contemporaine des fondements en mathématique confirme l’idée selon laquelle leur rigueur formelle repose toujours en dernier sur des énoncés indécidables. Gödel montre que la non-contradiction d’un système formel figure parmi ses indécidables. Il y a une incomplétude des mathématiques du point de vue de leur fondement.

Si le modèle mathématique n’est pas parfait en soi, quel usage peut-on en faire en dehors des mathématiques ? Toutes les sciences expérimentales utilisent les mathématiques mais leur objet étant composé de matière, elles doivent en tenir compte. La méthode expérimentale est hypothético-déductive à cette différence essentielle que la déduction n’est pas purement logique mais passe par l’épreuve de l’expérience. Autrement dit, l’objet mathématique reste toujours extérieur à l’expérience et pour cette raison, il ne peut pas être le seul guide dans la compréhension de l’ensemble de la réalité.

Hegel montre les limites de l’usage des vérités mathématiques en l’opposant à la philosophie qui, seule, est en mesure de saisir l’effectivité du réel. Un théorème mathématique est reconnu comme vrai mais il n’appartient pas au contenu de la réalité, il est en ce sens ineffectif ou abstrait. Il se situe toujours en dehors de la réalité concrète et ne peut se saisir de l’effectivité des choses : objet de la philosophie comme savoir absolu.