Les fonctions polynomes du second degré : définition et représentation
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- Connaitre l'expression algébrique d'une fonction polynôme du second degré.
- Connaitre la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré.
- Une fonction polynôme du second degré est
une fonction
définie sur R par
.
- Sa représentation graphique est une parabole
dont les branches sont tournées vers le haut
lorsque
et vers le bas lorsque 
.
Nous allons ici étudier un type de fonctions liées à la fonction carrée.
avec
a un réel non nul, b et c
deux réels.
.(Une fonction du second degré peut aussi s'écrire sous une forme factorisée ou sous une forme canonique.)
La fonction f définie par
est une fonction du second degré.On identifie les coefficients :
.La fonction g définie par
est une fonction du second degré.On identifie les coefficients :
.
La parabole a pour équation
.
- On utilise le mode graphique de la calculatrice.
- On édite la fonction et on affiche la courbe.
- La fonction Trace permet de déplacer le curseur sur la courbe. On peut ainsi lire les valeurs X et Y en bas de l'écran qui sont les coordonnées du point/curseur.
- Pour plus de précision, on peut utiliser la fonction Zoom.
- On utilise le mode table.
- On procède d'abord aux réglages : la première valeur de X, puis le pas.
- On affiche ensuite la table : dans la première colonne on lit donc les valeurs de X et dans la seconde les valeurs de Y (images de celles de X).
L'allure de la parabole
d'équation 
dépend du signe de
a :
- si
alors les branches de la parabole sont
tournées vers le haut ;
- si
alors les branches de la parabole sont
tournées vers le bas.
, alors que lorsqu'on est négatif, on fait la
moue 
.
Le sommet S de la parabole
est le point de la parabole d'abscisse 
.
On va étudier la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par
.Ici
.Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
| x | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| f(x) | 5 | 1 | –1 | –1 | 1 | 5 |
D'après ce tableau on peut lire que
.Sur le graphique ci-dessous, on lit les coordonnées du curseur X = 1,5 et Y = –1,25. Ce sont les coordonnées du sommet de la parabole : S(1,5 ; –1,25).
On va étudier la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par
.Ici
.Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
| x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| g(x) | –3 | 0,5 | 3 | 4,5 | 5 | 4,5 | 3 | 0,5 | –3 |
D'après ce tableau on peut lire
que 
.
Sur le graphique ci-dessous, on lit les
coordonnées du curseur X = 2 et
Y = 5. Ce sont les coordonnées du
sommet de la parabole : S(2 ; 5).
On peut donner les variations d'une fonction du second degré par son tableau de variation.
Lorsque 
(positif)
La valeur en laquelle le minimum est atteint
est 
.
Le minimum vaut 
.
On dit que f admet un minimum égal à –1,25 pour x = 1,5. En effet :
.
Lorsque 
(négatif)
La valeur en laquelle le maximum est atteint
est 
.
Le maximum vaut 
.
On dit que g admet un maximum égal à 5 pour x = 2. En effet :
- La parabole d'équation
admet pour axe de symétrie la droite
d'équation 
.
- La représentation graphique d'une fonction du second degré permet la résolution graphique d'une équation du second degré.
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