Les fonctions polynomes du second degré : définition et représentation - Maxicours

Les fonctions polynomes du second degré : définition et représentation

Objectifs
  • Connaitre l'expression algébrique d'une fonction polynôme du second degré.
  • Connaitre la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré. 
Points clés
  • Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur R par.
  • Sa représentation graphique est une parabole dont les branches sont tournées vers le haut lorsque  et vers le bas lorsque .

Nous allons ici étudier un type de fonctions liées à la fonction carrée.

1. Fonction polynôme de degré 2
Une fonction (polynôme) du second degré est une fonction qui peut s'écrire sous la forme avec a un réel non nul, b et c deux réels.
Remarque : On appelle forme développée la forme
.
(Une fonction du second degré peut aussi s'écrire sous une forme factorisée ou sous une forme canonique.) 
Exemples 
La fonction f définie par est une fonction du second degré.
On identifie les coefficients : .

La fonction g définie par  est une fonction du second degré.
On identifie les coefficients : .
2. Représentation graphique
On appelle parabole la courbe représentative d'une fonction du second degré.
La parabole a pour équation .
a. Représenter une fonction du second degré à l'aide de la calculatrice
Méthode 1 : en la traçant.
  1. On utilise le mode graphique de la calculatrice.
  2. On édite la fonction et on affiche la courbe.
  3. La fonction Trace permet de déplacer le curseur sur la courbe. On peut ainsi lire les valeurs X et Y en bas de l'écran qui sont les coordonnées du point/curseur.
  4. Pour plus de précision, on peut utiliser la fonction Zoom.
On peut également régler la fenêtre graphique. On entre les valeurs de Xmin, Xmax, Ymin et Ymax pour définir la taille du repère dans lequel sera tracée la courbe.
 
Méthode 2 : En éditant un tableau de valeurs de la fonction.
  1. On utilise le mode table.
  2. On procède d'abord aux réglages : la première valeur de X, puis le pas.
  3. On affiche ensuite la table : dans la première colonne on lit donc les valeurs de X et dans la seconde les valeurs de Y (images de celles de X).
b. Allure et sommet de la courbe

L'allure de la parabole d'équation  dépend du signe de a :

  • si alors les branches de la parabole sont tournées vers le haut ;
  • si  alors les branches de la parabole sont tournées vers le bas.
Moyen mnémotechnique : lorsqu'on est positif, on sourit , alors que lorsqu'on est négatif, on fait la moue .

Le sommet S de la parabole est le point de la parabole d'abscisse .

Exemple 1 : cas où 
On va étudier la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par .
Ici .
Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
     
x –1 0 1 2 3 4
f(x) 5 1 –1 –1 1 5

D'après ce tableau on peut lire que .

Sur le graphique ci-dessous, on lit les coordonnées du curseur X = 1,5 et Y = –1,25. Ce sont les coordonnées du sommet de la parabole : S(1,5 ; –1,25).
Exemple 2 : cas où 
On va étudier la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par .
Ici .
Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
x –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
g(x) –3 0,5 3 4,5 5 4,5 3 0,5 –3


D'après ce tableau on peut lire que .

Sur le graphique ci-dessous, on lit les coordonnées du curseur X = 2 et Y = 5. Ce sont les coordonnées du sommet de la parabole : S(2 ; 5).

3. Sens de variation et extremum

On peut donner les variations d'une fonction du second degré par son tableau de variation.

Lorsque (positif)

La valeur en laquelle le minimum est atteint est . Le minimum vaut .

Exemple : on reprend la fonction f de l'exemple 1 et on obtient le tableau de variation :

On dit que f admet un minimum égal à –1,25 pour x = 1,5. En effet : .


Lorsque  (négatif)

La valeur en laquelle le maximum est atteint est . Le maximum vaut .

Exemple : on reprend la fonction g de l'exemple 2 et on obtient le tableau de variation :

On dit que g admet un maximum égal à 5 pour x = 2. En effet : 
Remarque : Il existe des fonctions maximum et minimum en mode graphique sur la calculatrice, mais ce n'est qu'une valeur approchée.
Pour aller plus loin
  • La parabole d'équation  admet pour axe de symétrie la droite d'équation .
  • La représentation graphique d'une fonction du second degré permet la résolution graphique d'une équation du second degré.

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