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Exploiter les vecteurs position, vitesse et accélération

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Objectifs
  • Définir le vecteur vitesse et le vecteur accélération.
  • Établir les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération à partir des coordonnées du vecteur position et/ou du vecteur vitesse.
  • Exploiter les expressions des vecteurs vitesse et accélération dans le repère de Frenet, pour un mouvement circulaire.
  • Caractériser le vecteur accélération pour les différents types de mouvements rectiligne et circulaire.
Points clés
  • La position d’un point M en mouvement est donnée par son vecteur position  dans un repère (O ; , ).
    • Son vecteur vitesse  est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position.
    • Le vecteur accélération  est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse.
  • On étudie le mouvement circulaire d’un point M dans un repère tournant, le repère de Frenet (M ; , ).
    • Le vecteur vitesse du point M est tangent à la trajectoire et est dirigé dans le sens du mouvement.
    • Le vecteur accélération, si le mouvement est uniforme, est perpendiculaire au vecteur vitesse : il est radial et pointe vers le centre du cercle.
  • Pour un mouvement rectiligne, on définit trois types de mouvement :
    • rectiligne uniforme :  et  constant.
    • rectiligne uniformément accéléré :  et constant ;  et  colinéaires et de même sens.
    • rectiligne uniformément décéléré :  et constant ;  et  colinéaires et de sens opposé.
Pour bien comprendre
  • Dérivée d’une fonction
  • Vecteur
1. Vecteurs position, vitesse et accélération

Lors du mouvement d’un point matériel, on peut définir en chaque point de sa trajectoire les vecteurs position, vitesse et accélération.

a. Le vecteur position
La position d’un point M en mouvement est repérée, dans un repère (O ; , ), par le vecteur position .

Vecteurs position le long d’une trajectoire

Les coordonnées de ce vecteur dans le repère (O ; , ) sont les suivantes.

  ou  

avec :
  •  le vecteur position à l’instant t, avec OM(t) en m
  • x(t) et y(t) les coordonnées du vecteur position à l’instant t, en m
b.  Le vecteur vitesse
Le vecteur vitesse  d’un point M en mouvement est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position .

 ou 

Ce vecteur est tangent à la trajectoire au point M, et est dirigé dans le sens du mouvement.


Vecteurs vitesse le long d’une trajectoire

Les coordonnées de ce vecteur dans le repère (O ; , ) sont les suivantes.

  soit  

 ou 

avec :
  •  le vecteur vitesse du point à l’instant t, avec v(t) en m·s–1
  •  et  les coordonnées du vecteur vitesse à l’instant t, en m·s–1
  • x(t) et y(t) les coordonnées du vecteur position à l’instant t, en m

Point mathématique
La notation d’une dérivée en mathématiques se fait à l’aide d’un prime. En physique, la notation de cette même dérivée se fait avec une différentielle où est précisée au dénominateur la variable sur laquelle on réalise la dérivée.

notation maths →  ← notation différentielle

La valeur de la vitesse v(t) à un instant t nous est donnée par la relation suivante.

  ou  
c. Le vecteur accélération
Le vecteur accélération  d’un point M en mouvement est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse , et à la dérivée seconde par rapport au temps du vecteur position .

Les coordonnées de ce vecteur dans le repère (O ; , ) sont les suivantes.

 

ou

avec :
  •  le vecteur accélération du point à l’instant t, avec a(t) en m·s–2
  • ax(t) et ay(t) les coordonnées du vecteur accélération à l’instant t, en m·s–2
  • vx(t) et vy(t) les coordonnées du vecteur vitesse à l’instant t, en m·s–1
  • x(t) et y(t) les coordonnées du vecteur position à l’instant t, en m

Point mathématique
La notation d’une dérivée seconde en mathématiques se fait à l’aide d’un double prime. En physique, la notation de cette même dérivée se fait avec une différentielle seconde où est précisée au dénominateur la variable sur laquelle on réalise la dérivée seconde.


notation maths →  ← notation différentielle

La valeur de l’accélération a(t) à un instant t nous est donnée par la relation suivante.

  ou  

ou  

2. L'étude du mouvement circulaire - Le repère de Frenet
a. Principe
Le repère de Frenet
Dans le cas où le mouvement d’un point M est circulaire (c’est-à-dire que la trajectoire est un cercle), il existe un repère privilégié pour étudier le mouvement : le repère de Frenet (M ; , ).

Dans ce repère :

  • l’origine est le point M(t) ;
  • le vecteur unitaire  est tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement ;
  • le vecteur unitaire  est radial et dirigé vers le centre de la trajectoire circulaire.

Le repère de Frenet à différents instants
Remarque
Ce repère, à la différence du repère (O ; , ), se déplace solidairement avec le point en mouvement : on l’appelle aussi repère tournant.
Le vecteur vitesse

Le vecteur vitesse du point M est tangent à la trajectoire et est dirigé dans le sens du mouvement.

Il a donc l’expression suivante dans le repère de Frenet.

  ou  

avec :

  •  le vecteur vitesse du point M à l’instant t, avec v(t) en m·s–1
  • v(t) la valeur du vecteur vitesse à l’instant t, en m·s–1
Le vecteur accélération

Le vecteur accélération du point M a l’expression suivante dans le repère de Frenet.

  ou  

avec :

  •  le vecteur accélération du point M à l’instant t, avec a(t) en m·s–2
  • v(t) la valeur du vecteur vitesse à l’instant t, en m·s–1
  • R = OM le rayon de la trajectoire, en m

La direction et le sens de ce vecteur dépendent du type de mouvement circulaire.

b. Le type de mouvement circulaire

Le mouvement circulaire peut être uniforme ou être varié.

Si le mouvement est uniforme

Si le mouvement est uniforme, alors la valeur de la vitesse v(t) est constante au cours du temps et sa valeur peut être notée v.

  • Sa dérivée par rapport au temps est donc nulle : 
  • L’expression du vecteur accélération est la suivante : 
Le vecteur accélération est perpendiculaire au vecteur vitesse : il est radial (dirigé selon les rayons d’un cercle) et pointe vers le centre du cercle associé à la trajectoire.

Sa valeur est constante et égale à .


Vecteurs vitesse et accélération pour un mouvement circulaire et uniforme
Remarques
  • Dans ces conditions, on dit que le vecteur accélération est centripète.
  • Les valeurs des vecteurs accélération et vitesse sont constantes mais à chaque instant, leurs directions et leurs sens changent.
Si le mouvement est varié

Si le mouvement est varié, alors la valeur de la vitesse v(t) varie au cours du temps : si la vitesse diminue, le mouvement est décéléré et si la vitesse augmente, le mouvement est accéléré.

Sa dérivée par rapport au temps est donc non nulle : .

  •  si le mouvement est accéléré car v(t) augmente.
  •  si le mouvement est décéléré car v(t) diminue.
Le vecteur accélération possède donc une coordonnée selon  et une selon  : il est dirigé vers l’intérieur de la trajectoire circulaire mais n’est pas radial.

Vecteurs vitesse et accélération
pour un mouvement circulaire varié
3. L'étude du mouvement rectiligne
Principe

Le mouvement d’un point M est rectiligne si sa trajectoire est une droite. L’étude du mouvement peut dans ce cas se faire dans un repère (O ; ), où le vecteur unitaire possède la même direction que la trajectoire.

Dans ce repère, les vecteurs vitesse et accélération ont les expressions suivantes.

avec :
  •  le vecteur accélération du point M à l’instant t, avec a(t) en m·s–2
  •  le vecteur vitesse du point M à l’instant t, avec v(t) en m·s–1
  • ax(t) la coordonnée du vecteur accélération sur l’axe  à l’instant t, en m·s–2
  • vx(t) la coordonnée du vecteur vitesse sur l’axe  à l’instant t, en m·s–1
  • x(t) la coordonnée du vecteur position sur l’axe  à l’instant t, en m
Le type de mouvement rectiligne

On peut distinguer trois types de mouvement rectiligne.

Le mouvement rectiligne uniforme

Si le mouvement est rectiligne uniforme, alors :

  •  ;
  • est un vecteur constant, de même direction que la trajectoire et de même sens que celui du mouvement.
Le mouvement rectiligne uniformément accéléré

Si le mouvement est rectiligne uniformément accéléré, alors :

  • et  est constante ;
  •  et  sont des vecteurs colinéaires, dont la direction est celle de la trajectoire, dans le même sens que celui du mouvement.
Le mouvement rectiligne uniformément décéléré

Si le mouvement est rectiligne uniformément décéléré, alors :

  • et  est constante ;
  • et sont des vecteurs colinéaires et ont des sens opposés :  est dans le même sens que celui du mouvement et  est dans le sens opposé.

Point mathématique
Pour calculer, à partir des coordonnées du vecteur position, les coordonnées du vecteur vitesse puis celles du vecteur accélération, il faut réaliser des dérivations en fonction du temps t.

Voici ci-dessous quelques dérivées à connaitre.

Fonction constante Fonction linéaire Fonction carrée
f(t) = A f(t) = A × t + B f(t) = A × t2 + B × t + C
     

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