Calcul littéral- Collège- Mathématiques - Maxicours

Calcul littéral

Objectifs

► Prérequis
• Les diviseurs et les multiples
• Le calcul mental

► Attendus
• Développer des expressions littérales
• Réduire et ordonner des expressions littérales
• Factoriser des expressions littérales
• Connaitre les identités remarquables

1. SAVOIR
a. Définition
Le calcul littéral permet de généraliser un résultat qui dépend d’une valeur variable, que l’on note souvent x, et de résoudre une équation ou une inéquation.
b. Règles

► Règles de base
Le signe est supprimé entre deux lettres ou devant une lettre, et entre deux parenthèses ou devant une parenthèse.

Exemple : On écrit : et .


Par convention, dans le produit d’un nombre et d’une lettre, on place le nombre devant la lettre.

Exemple : On écrit :  et .


Dans un calcul, on effectue en premier la partie placée entre parenthèses.
Si cette parenthèse contient plusieurs termes et qu’elle est précédée :

  • d’un « + », alors on peut enlever les parenthèses sans changer le signe des termes.
    Exemple : On écrit : 
  • d’un « – », alors on peut enlever les parenthèses en changeant le signe de chacun des termes à l’intérieur de la parenthèse.
    Exemple : On écrit : 


► Règles de distributivité
Pour tous les nombres a, b et k, on a : et → simple distributivité.
Pour tous les nombres a, b, c et d, on a : → double distributivité.

► Développement et factorisation

Développer, c’est transformer un produit en une somme ou en une différence.

Pour développer une expression, on utilise les formules de distributivité en les lisant de la gauche vers la droite.

Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit.

Pour factoriser une expression, on utilise les formules de distributivité en les lisant de la droite vers la gauche.

Réduire et ordonner une expression, c’est ordonner les termes en  selon les puissances décroissantes, après avoir calculé chacun des termes.


► Identités remarquables
Pour tous les nombres a et b, on a :

  • ;
  • ;


Lues de la gauche vers la droite, elles permettent de développer une expression et lues de la droite vers la gauche, elles permettent de factoriser une expression.

2. SAVOIR-FAIRE

► Développer, ordonner et réduire une expression littérale

Exemple 1 : Développer l’expression 
Exemple 2 : Développer, ordonner et réduire l’expression  




 Factoriser une expression littérale

Exemple 1 : Factoriser l’expression 
Le facteur commun de cette expression est 


Exemple 2 : Factoriser l’expression .
On remarque que .
On peut donc réécrire l’expression D sous la forme .
Le facteur  est commun aux deux termes, donc : 




► Utiliser les identités remarquables pour développer une expression

Exemples :



► Utiliser une identité remarquable pour factoriser une expression

Exemple : Factoriser 

On remarque que donc :

 avec l’identité remarquable 

3. À RETENIR
a. Glossaire
Distributivité : Transformation d'un produit de termes en une somme de termes.
Factorisation : Transformation d'une somme de termes en produit de termes.
Facteur commun : Lorsque l'on effectue une factorisation, le facteur commun est le terme présent dans chaque membre de la somme de départ.
Variable : Une variable mathématique est une valeur inconnue, souvent noté x, qui varie dans un ensemble de nombres.
b. Formules clés

Règle de simple distributivité
Pour tous les nombres a, b et k, on a :  et .

Règle de double distributivité
Pour tous les nombres a, b, c et d, on a : .

Identités remarquables
Pour tous les nombres a et b, on a :

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