Suite arithmétique - croissance linéaire - Cours de Mathématiques Première pro avec Maxicours

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Suite arithmétique - croissance linéaire

Objectif(s)
Définition - Représentation graphique - Calcul du terme de rang n - Sens de variation - Suite arithmétique et variation absolue
1. Définition
Exemple
Soit la suite de nombres U0 = − 5 ; U1 = − 2 ; U2 = 1 ; U3 = 4 ; U4 = 7 ; U5 = 10...
On remarque que l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant 3. On pourrait écrire la relation de récurrence suivante :
Un+1 = Un + 3 avec U0 = − 5.

Définition
Une suite arithmétique est une suite où l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé la raison.


On écrit : Un+1 = Un + r.

Exemple
Calculer les premiers termes d’une suite arithmétique de raison – 4 et de premier terme U0 = 2.

U1 = U0 − 4 = 2 − 4 = −2 ;
U2 = U1 − 4 = −2 − 4 = −6 ;
U3U2 − 4 = −6 −4 = −10...
2. Terme de rang n d'une suite arithmétique
Par définition, on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r (raison).
Un = Un-1 + r ;

Un-1 = Un-2 + 1r donc Un = Un-2 + r ;

Un-2 = Un-3 + 1r donc Un = Un-3 + r ;

...

U1 = U0 + 1r donc Un = Un-n + nr = U0 + nr.

Terme de rang n
Si une suite (Un) est arithmétique de raison r et de premier terme U0, alors Un = U0 + nr.

Exemples
• La suite arithmétique de premier terme U0 = 100 et de raison 50 peut s’écrire de manière explicite : Un = 100 + 50n.
• Soit une somme de 2 000€ placé à intérêts simples de 4 %. Calculer la somme obtenue au bout de 10 ans.

Les intérêts simples sont de : €.
Si U0 est la somme initiale alors la somme obtenue au bout d'un an est :
U1 = U0 + 80 = 2 080.

Au bout de 2 ans : U2 = U1 + 80 = 2 160.
Au bout de 3 ans : U3 = U2 + 80 = 2 160 + 80 = 2 240...

(Un) est une suite arithmétique de raison 80 donc Un = U0 + 80n = 2 000 + 80n.
Au bout de 10 ans, U10 = 2 000 + 80X10 = 2 800 €.

3. Sens de variation d'une suite arithmétique
D’après la définition du sens de variation d’une suite, celui d’une suite arithmétique va dépendre du signe de sa raison r :
• Si r > 0 alors la suite arithmétique est croissante,
• Si r < 0 alors la suite arithmétique est décroissante,
• Si r = 0 alors la suite arithmétique est constante.

Exemple
• Si une suite arithmétique est de raison 4 alors elle est croissante :
U
0 = 1 ; U1 = 5 ; U2 = 9 ; U3 = 13…

• Si une suite arithmétique est de raison -5 alors elle est décroissante :
U
0 = 4 ; U1 = − 1 ; U2 = − 6 ; U3 = − 11…
4. Représentation graphique d'une suite arithmétique
Soit (Un)une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U0 = 1.

U1 = 4 ; U2 = 7 ; U3 = 10 ; U4 = 13…


Propriété
Tous les points d’une suite arithmétique sont alignés : on parle d’une croissance linéaire.

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