Suite arithmétique - croissance linéaire

Exemple
Soit la suite de nombres U₀ = − 5 ; U₁ = − 2 ; U₂ = 1 ; U₃ = 4 ; U₄ = 7 ; U₅ = 10...
On remarque que l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant 3. On pourrait écrire la relation de récurrence suivante :
U_n+1 = U_n + 3 avec U₀ = − 5.


Exemple
Calculer les premiers termes d’une suite arithmétique de raison – 4 et de premier terme U₀ = 2.

U₁ = U₀ − 4 = 2 − 4 = −2 ;
U₂ = U₁ − 4 = −2 − 4 = −6 ;
U₃ = U₂ − 4 = −6 −4 = −10...

U_n = U_n-1 + r ;

U_n-1 = U_n-2 + 1r donc U_n = U_n-2 + r ;

U_n-2 = U_n-3 + 1r donc U_n = U_n-3 + r ;

...

U₁ = U₀ + 1r donc U_n = U_n-n + nr = U₀ + nr.


Exemples
• La suite arithmétique de premier terme U₀ = 100 et de raison 50 peut s’écrire de manière explicite : U_n = 100 + 50n.
• Soit une somme de 2 000€ placé à intérêts simples de 4 %. Calculer la somme obtenue au bout de 10 ans.

Les intérêts simples sont de : €.
Si U₀ est la somme initiale alors la somme obtenue au bout d'un an est :
U₁ = U₀ + 80 = 2 080.

Au bout de 2 ans : U₂ = U1 + 80 = 2 160.
Au bout de 3 ans : U₃ = U₂ + 80 = 2 160 + 80 = 2 240...

(U_n) est une suite arithmétique de raison 80 donc U_n = U₀ + 80n = 2 000 + 80n.
Au bout de 10 ans, U₁₀ = 2 000 + 80X10 = 2 800 €.

Exemple
• Si une suite arithmétique est de raison 4 alors elle est croissante :
U₀ = 1 ; U₁ = 5 ; U₂ = 9 ; U₃ = 13…

• Si une suite arithmétique est de raison -5 alors elle est décroissante :
U₀ = 4 ; U₁ = − 1 ; U₂ = − 6 ; U₃ = − 11…

Soit (U_n)une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U₀ = 1.

U₁ = 4 ; U₂ = 7 ; U₃ = 10 ; U₄ = 13…