Généralités sur les suites

Exemple : Posons U₀ = 0, U₁ = 1, U₂ = 4, U₃ = 9, U₄ = 16, U₅ = 25, U₆ = 36, ..., U_n = n².
Dans ce cas, (U_n) est appelée une suite.

Définition
Une suite (U_n) est la donnée d’une liste ordonnée de nombres notés U₀, U₁, U₂, U₃ ... et appelés les termes de la suite (U_n).

• n représente l’indice ou le rang des termes de la suite.
• U₀ est le premier terme de la suite
• U_n (U « indice » n) est le terme général de la suite U_n.

Remarque
U_n-1 et U_n+1 sont respectivement les termes précédent et suivant de U_n.


Définition
Pour toute fonction définie sur , on peut définir de manière explicite une suite (U_n) = f (n) pour tout n 

Autres exemples

Remarque
On peut calculer directement le 10ème terme sans connaître les précédents.

Exemple :

Exemple :
Soit la suite définie par son premier terme U₀ = 3 et tel que le terme suivant s'obtienne en multipliant par deux le terme précedent et en ajoutant 4.

U₀ = 3,
U₁ = 2 × U₀ + 4 = 2 × 3 + 4 = 10,
U₂ = 2 × U₁ + 4 = 2 × 10 + 4 = 24,
U₃ = 2 × U₂ + 4 = 2 × 24 + 4 = 52...
La relation permettant de passer d’un terme à son suivant est appelé relation de récurrence.
Dans le cas précédent, la relation de récurrence de notre suite est :
U_n+1 = 2 × U_n + 4.

Définition
La donnée d’une « relation de récurrence » entre U_n et U_n+1 et du premier terme permet de générer une suite (U_n).

Remarques :

• On définit ainsi une suite en calculant de proche en proche chaque terme de la suite.
• On ne peut calculer le 10ème terme d’une suite avant d’en avoir calculé les 9 termes précédents.

Afin de représenter graphiquement une suite on place, dans un repère orthonormé, l’ensemble des points de coordonnées :
(0 ; U₀) ; (1 ; U₁) ; (2 ; U₂) ; (3 ; U₃) ; (n ; U_n).


Exemple :