Généralités sur les suites - Maxicours

Généralités sur les suites

Sommaire : Définitions et vocabulaire - Sens de variation d'une suite - Représentation graphique
1. Définitions
Exemple : Posons U0 = 0, U1 = 1, U2 = 4, U3 = 9, U4 = 16, U5 = 25, U6 = 36, ..., Un = n2.
Dans ce cas, (Un) est appelée une suite.

Définition
Une suite (Un) est la donnée d’une liste ordonnée de nombres notés U0, U1, U2, U3 ... et appelés les termes de la suite (Un).
  • n représente l’indice ou le rang des termes de la suite.
  • U0 est le premier terme de la suite
  • Un (U « indice » n) est le terme général de la suite Un.
Remarque
Un-1 et Un+1 sont respectivement les termes précédent et suivant de Un.
2. Génération d'une suite
a. Suite définie par Un = f (n)


Définition
Pour toute fonction définie sur , on peut définir de manière explicite une suite (Un) = f (n) pour tout n 

Autres exemples

Remarque
On peut calculer directement le 10ème terme sans connaître les précédents.

Exemple :

b. Suite définie par une relation de récurrence
Exemple :
Soit la suite définie par son premier terme U0 = 3 et tel que le terme suivant s'obtienne en multipliant par deux le terme précedent et en ajoutant 4.

U0 = 3,
U1 = 2 × U0 + 4 = 2 × 3 + 4 = 10,
U2 = 2 × U1 + 4 = 2 × 10 + 4 = 24,
U3 = 2 × U2 + 4 = 2 × 24 + 4 = 52...
La relation permettant de passer d’un terme à son suivant est appelé relation de récurrence.
Dans le cas précédent, la relation de récurrence de notre suite est :
Un+1 = 2 × Un + 4.

Définition
La donnée d’une « relation de récurrence » entre Un et Un+1 et du premier terme permet de générer une suite (Un).

Remarques :
  • On définit ainsi une suite en calculant de proche en proche chaque terme de la suite.
  • On ne peut calculer le 10ème terme d’une suite avant d’en avoir calculé les 9 termes précédents.
3. Sens de variation d'une suite
4. Représentation graphique d'une suite
Afin de représenter graphiquement une suite on place, dans un repère orthonormé, l’ensemble des points de coordonnées :
(0 ; U0) ; (1 ; U1) ; (2 ; U2) ; (3 ; U3) ; (n ; Un).


Exemple :


 
 

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