Le théorème de Thalès
Objectifs :
Que dit le théorème de Thalès et comment
l’utiliser? Quelle utilisation peut-on faire de la
réciproque du théorème de Thalès ?
Voilà les deux sujets abordés dans cette fiche.
1. Théorème de Thalès et application
a. Le théorème de Thalès
Soit A, B, C trois points alignés et A, B’,
C’ trois points alignés. On suppose de plus
que tous ces points sont distincts deux à
deux.
Si les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles alors on a
.
Si les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles alors on a
.
Deux cas de figures sont possibles, selon que A est, ou non, entre les points B et C.
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| Figure 1 | Figure 2 |
b. Application
Dans le cas où les conditions sont
vérifiées, on utilise le théorème de
Thalès pour calculer des longueurs.
Exemple
Sur la figure ci-dessous les droites (IJ) et (ED) sont parallèles. On donne AJ = 5 cm, AE = 6 cm et AD = 8 cm. Calculer AI.
Réponse
Les points A, I et D sont alignés. Les points A, J et E sont alignés. Les droites (IJ) et (ED) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès qui s’exprime ici par :
On connait AJ, AE et AD et on cherche AI. On garde donc les deux premiers rapports
En remplaçant on obtient :
D’où AI =
(arrondi au
dixième).
Exemple
Sur la figure ci-dessous les droites (IJ) et (ED) sont parallèles. On donne AJ = 5 cm, AE = 6 cm et AD = 8 cm. Calculer AI.
Les points A, I et D sont alignés. Les points A, J et E sont alignés. Les droites (IJ) et (ED) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès qui s’exprime ici par :
On connait AJ, AE et AD et on cherche AI. On garde donc les deux premiers rapports
En remplaçant on obtient :
D’où AI =
(arrondi au
dixième).
2. Réciproque du théorème de Thalès
Cette propriété est utilisée pour
démontrer que des droites sont parallèles.
Exemple
Dans la figure ci-dessous on sait que : AB = 7 cm, AC = 10 cm, AB’ = 4,2 cm et AC’ = 6 cm. Les droites (BB’) et (CC’) sont-elles parallèles ?
Réponse :
A, B, C et A, B’, C’ sont alignés dans le même ordre.
et d’autre part,
Donc
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles.
Réciproque du
théorème de Thalès
Soit A, B, C trois points alignés et A, B’, C’ trois points alignés. On suppose de plus que tous ces points sont distincts deux à deux.
Si les points A, B, C et les points A, B’, C’ sont alignés dans le même ordre et si
alors les droites (BB’) et
(CC’) sont parallèles.
Soit A, B, C trois points alignés et A, B’, C’ trois points alignés. On suppose de plus que tous ces points sont distincts deux à deux.
Si les points A, B, C et les points A, B’, C’ sont alignés dans le même ordre et si
alors les droites (BB’) et
(CC’) sont parallèles.
Exemple
Dans la figure ci-dessous on sait que : AB = 7 cm, AC = 10 cm, AB’ = 4,2 cm et AC’ = 6 cm. Les droites (BB’) et (CC’) sont-elles parallèles ?
Réponse :
A, B, C et A, B’, C’ sont alignés dans le même ordre.
et d’autre part,
Donc
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BB’) et (CC’) sont parallèles.
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