La résistance des matériaux - Maxicours

La résistance des matériaux

Objectifs
  • Comprendre les objectifs de l’étude de la résistance des matériaux.
  • Connaitre les caractéristiques des sollicitations simples.
  • Découvrir les apports de la modélisation par éléments finis.
Points clés
  • Un matériau est soumis à des efforts extérieurs divers, qui ont des caractéristiques différentes : traction, compression, flexion, cisaillement ou torsion.
  • Une contrainte σ subie par le matériau représente une pression interne dans le matériau suite à l’un de ces efforts extérieurs :  avec F la force exercée sur le matériau et A l’aire de la surface.
  • Lorsque l’on applique une contrainte sur une pièce, celle-ci commence par se déformer de façon élastique (déformation réversible) jusqu’à ce que le niveau de contraintes atteigne la limite élastique Re du matériau. Passé ce seuil, si on continue à augmenter l’intensité de l’effort appliqué, la pièce se déforme de façon irréversible (déformation plastique) et ce, jusqu’à la rupture de la pièce.
  • Le module d’élasticité longitudinale E (ou module de Young) caractérise l’élasticité du matériau : σ = E × ε avec σ la contrainte et ε l’allongement relatif.
  • Un matériau résiste si la contrainte maximale σmax ne dépasse pas la limite élastique Re du matériau : , avec Re la limite élastique et K un coefficient de sécurité.
1. La résistance des matériaux

L’étude de la résistance des matériaux a trois objectifs principaux.

  • La connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux (comportement sous l’effet d’une action mécanique).
  • L’étude de la résistance des pièces mécaniques.
  • L’étude de la déformation des pièces mécaniques.

Ces études permettent de choisir le matériau et les dimensions d’une pièce mécanique en fonction des conditions de déformation et de résistance requises.

2. L'analyse des pièces de type « poutre » - Sollicitations simples
a. Le torseur de cohésion

Lorsqu’une pièce est soumise à des efforts extérieurs, pour mettre en évidence les efforts transmis par la matière, on effectue une coupure imaginaire par un plan perpendiculaire à la ligne moyenne de la pièce.

L’identification des efforts intérieurs exercés entre les deux tronçons au niveau de la coupure permet d’écrire le torseur de cohésion.


Dans le cas d'une poutre d'axe  dans un repère R (), ce torseur s'écrit de la manière suivante au point G.

avec :

  • N l’effort normal : force de direction tangente à la courbe moyenne 
  • T l’effort tranchant : force perpendiculaire à la courbe moyenne et qui provoque un cisaillement 
    • Ty l’effort tranchant selon 
    • Tz l’effort tranchant selon 
  • Mt le moment de torsion : son vecteur a pour direction 
  • Mf le moment fléchissant : moment dont le vecteur est perpendiculaire à la courbe moyenne et qui provoque une flexion
    • My le moment fléchissant selon 
    • Mz le moment fléchissant selon
b. Les caractéristiques des différents efforts extérieurs

Le tableau suivant liste les différents efforts extérieurs possibles, avec le torseur de cohésion associé.

Traction 
La traction provoque un allongement qui peut entrainer la rupture du matériau.

 
Compression
La compression provoque un raccourcissement qui peut entrainer une pulvérisation du matériau ou un phénomène de flambage.
 
Flexion
La flexion provoque un fléchissement qui peut entrainer la rupture du matériau.

 
Cisaillement

Le cisaillement est souvent rencontré quand il y a des porte-à-faux.

Une installation est dite en porte-à-faux lorsqu’un élément est soutenu par un élément qui est lui-même au-dessus du vide, un balcon par exemple.

Le cisaillement provoque une fissure qui peut entrainer la rupture du matériau.


 
Torsion
La torsion est souvent rencontrée sur les arbres de transmission.

 
c. Les hypothèses pour étudier la résistance de matériaux

Pour mener des études de résistance des matériaux, il est nécessaire de poser des hypothèses sur le matériau.

Les hypothèses posées sont souvent les suivantes.

  • Le matériau est isotrope : il possède les mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions. Cette propriété n’est pas vérifiée pour les matériaux tels que le bois, les matériaux composites, etc.
  • Le matériau est homogène : il a la même composition en tout point.
  • Le matériau est continu : il ne présente pas de fissures.
3. L'analyse de pièces de forme quelconque
Une contrainte représente une pression interne dans le matériau. Elle se note σ et s’exprime en Pascal (Pa).
Lorsqu’une pièce a une géométrie complexe, on utilise une modélisation par éléments finis pour identifier les zones et les valeurs des contraintes maximales dans la pièce, ainsi que la valeur des déformations.
Exemple – Support d’appareil photo
4. Le comportement des pièces en traction

Les caractéristiques des différents matériaux sont définies à partir d’essais. Le plus classique est l’essai de traction qui permet d’établir, pour le matériau testé, la courbe de l’évolution de la déformation en fonction des contraintes appliquées à la pièce.

a. Déformation élastique, déformation plastique

Lorsque l’on applique une contrainte σ sur une pièce, celle-ci commence par se déformer de manière réversible (déformation élastique), c’est-à-dire que ses dimensions changent mais que la pièce reprend sa forme initiale lorsque la sollicitation s’arrête.

Pour les matériaux dits ductiles, c’est-à-dire qui ont la capacité de se déformer sans se rompre, on déforme de manière définitive la pièce lorsque l’on augmente la sollicitation (déformation plastique). Lorsque l’on arrête la sollicitation, la pièce reste déformée.

La longévité et le bon fonctionnement des mécanismes imposent que les pièces restent dans le domaine élastique.


Diagramme contrainte-déformation

Sur le visuel ci-dessus :

  • la limite à la rupture Rr correspond à la contrainte maximale atteinte au cours de l’essai ;
  • la limite élastique Re marque la fin du domaine élastique. Au-delà de cette valeur, la pièce se déforme plastiquement.
b. Loi de Hooke

Le module d’élasticité longitudinale E (ou module de Young) caractérise l’élasticité du matériau et correspond à la pente de la courbe dans le domaine élastique.

Plus E est grand et plus le matériau est rigide (et inversement).

Exemples
  • Eacier 200 000 N/mm2
  • Ecaoutchouc = 7,5 N/mm2

La loi de Hooke traduit ce principe.

σ = × ε

avec :

  • σ la contrainte exercée sur le matériau, en N/mm2 (MPa)
  • σ =  avec :
    • la force exercée sur le matériau, en newton (N)
    • A l’aire de la surface, en mm2
  • E le module de Young, en N/mm2 (MPa)
  • ε l’allongement relatif du matériau, sans unité
  •  avec :
    • ΔL l’allongement du matériau, en mm
    • L la longueur du matériau, en mm
c. Condition de résistance
La contrainte maximale σmax ne doit pas dépasser la limite élastique Re du matériau : σmax ≤ Re

Pour tenir compte des incertitudes liées au matériau, à la simulation, à l’intensité des efforts, on applique fréquemment un coefficient de sécurité K.

avec :

  • σmax la contrainte maximale exercée sur le matériau, en N/mm2 (MPa)
  • Re la résistance limite élastique, en MPa
  • K le coefficient de sécurité (K > 1)

Pour calculer le coefficient de sécurité pour une pièce pour laquelle on connait l’intensité maximale des contraintes, on applique la formule .

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