Utiliser les torseurs - Maxicours

Utiliser les torseurs

Objectifs
  • Savoir lire et écrire un torseur.
  • Apprendre à effectuer les calculs et opérations courantes sur les torseurs.
  • Connaitre une méthode de résolution de problème qui implique les torseurs.
Points clés
  • Un torseur est un outil mathématique qui aide à la résolution de problèmes de mécanique.
  • Un torseur est lié à un point et il comporte deux vecteurs, la résultante et le moment : 
  • Certains torseurs sont particuliers : le torseur nul, le glisseur et le couple.
  • Plusieurs torseurs peuvent être additionnés.
  • Pour changer le point par rapport auquel un torseur est exprimé :
    • on conserve la résultante ;
    • on modifie le moment grâce à la relation de Varignon : .
Pour bien comprendre
  • Action mécanique
  • Vecteur
1. Qu'est-ce qu'un torseur ?
a. Outil mathématique
Le torseur est un outil mathématique.

En mécanique du solide indéformable, le torseur permet de simplifier la résolution de nombreux problèmes, dans un plan (2D) comme dans l’espace (3D). C’est le cas des problèmes liés à la transmission d’actions mécaniques, au déplacement, à la vitesse ou à l’accélération d’un solide.

Remarque
En mécanique du solide, les corps étudiés (produit, assemblage ou pièce) sont modélisés par des solides (objets tridimensionnels). Au lycée, on considère que les solides sont indéformables lorsqu’on utilise les torseurs (les torseurs ne sont pas utilisables avec des solides déformables).
Exemple
Le torseur statique permet de modéliser la manière dont les efforts sont transmis entre plusieurs solides dans un assemblage à l’équilibre statique (qui n’est pas en mouvement).

À partir de quelques données sur la situation étudiée, le torseur statique permet de déterminer toutes les inconnues du problème en résolvant quelques équations.
b. Forme

Voici la forme générale d’un torseur, exprimé au point A.

 

Un torseur est composé de deux vecteurs.

  • Un vecteur  qui s’appelle la résultante.
  • Un vecteur  qui s’appelle le moment.
Rappels
  • La résultante résume l’action de poussée ou de traction qui résulte d’une action mécanique appliquée sur un solide.
  • Le moment représente la manière dont l’action mécanique a tendance à faire tourner le solide autour d’un axe.
Quand on écrit un torseur, on l’écrit par rapport à un point du plan ou de l’espace.
  • La résultante du torseur est invariable : peu importe le point du plan ou de l'espace utilisé pour écrire le torseur, elle est toujours la même.
  • Le moment dépend du point du torseur : le moment est différent si on change le point d’écriture du torseur.
Exemple
Soit une voiture qui est en contact avec le sol en A.
On peut modéliser par un torseur la manière dont le sol transmet un effort mécanique (par résistance à l’enfoncement) à la voiture.
On utilise pour cela le torseur suivant.
Si on change le point du torseur, en B par exemple, le nouveau torseur est le suivant.
Dans les deux cas, la résultante est identique, par contre le moment change, d’où le « /B » au lieu du « /A » en indice du moment, pour indiquer ce changement.

Comme les deux éléments qui composent le torseur sont des vecteurs, on peut aussi écrire un torseur sous sa forme décomposée.

avec :
  •  la résultante du torseur.
    XY et Z sont ses composantes sur les axes  et .
  •  le moment en A du torseur.
    LM et N sont ses composantes autour des axes   et .
c. Torseurs particuliers
Torseur nul
Le torseur nul est un torseur dont toutes les composantes sont nulles.

 

Remarque
Le torseur nul est invariable, peu importe le point utilisé pour exprimer le torseur.
Glisseur
Un glisseur est un torseur dont le moment est nul.

 

Remarque
Bien que le moment soit nul au niveau du point où le glisseur est exprimé, ce n’est pas le cas par rapport à tous les points du plan/espace. En changeant le point à partir duquel on exprime le torseur, un moment peut apparaitre.

Un torseur glisseur est produit par une action mécanique qui « pousse » ou « tire » le solide qui la subit.

Remarque
Le nom glisseur vient du fait que le torseur fait simplement « glisser » (« pousse » ou « tire ») le solide sans le faire tourner.
Couple
Un couple est un torseur dont la résultante est nulle.

 

Un torseur couple est produit par une action mécanique qui ne tend qu’à mettre en rotation le solide qui la subit.

Remarques
  • La résultante est invariable, la résultante reste donc nulle, peu importe le point du plan/espace par rapport auquel on exprime le torseur.
  • Comme un torseur quelconque, le moment d’un couple est variable en fonction du point où le torseur est exprimé.
2. Manipuler un torseur
a. Addition de torseurs
Des torseurs peuvent être additionnés s'ils sont exprimés par rapport au même point.

Il suffit alors d’additionner leurs composantes une à une.

Exemple
Soit les deux torseurs suivants, exprimés en A.
Remarque
Il est possible, de la même manière, d’additionner plus de deux torseurs ou de soustraire des torseurs.
b. Changer le point d'un torseur
Produit vectoriel
Le produit vectoriel est un opérateur mathématique qui permet de multiplier deux vecteurs. Il se note .

Il est nécessaire de savoir s’en servir lorsque l’on manipule des torseurs.

Voici un schéma pour se rappeler plus facilement quelles composantes multiplier/soustraire ensemble.
Exemple
Soient les deux vecteurs et , leur produit vectoriel vaut :
Changement de point

Il est souvent nécessaire de changer le point par rapport auquel un torseur est écrit. C’est notamment le cas lorsqu’on doit additionner des torseurs qui sont au départ exprimés par rapport à des points différents.

Pour changer le point par rapport auquel un torseur est exprimé :
  • on conserve la résultante telle quelle ;
  • on se sert de la relation de Varignon pour déplacer le moment.

La relation de Varignon s’exprime de la manière suivante.

  avec :
  •  est le moment en B, du nouveau torseur qu’on a déplacé
  •  est le moment en A, du torseur d’origine qu’on déplace
  •  est le vecteur qui va du point B au point A
  •  est la résultante du torseur qu’on déplace
Exemple

Soit un torseur T, dont on connait les composantes au point A.
On veut déterminer ses composantes au point B.

On commence par calculer le moment en B en appliquant la relation de Varignon, ce qui donne :



Pour écrire le torseur au point B, on associe :

  • la résultante qu’on avait pour le torseur au point ;
  • le moment qu’on vient de trouver au point B.

Ce qui donne finalement .

3. Résoudre un problème avec les torseurs
a. Méthode de résolution

Un problème qui se sert des torseurs part toujours d’une égalité.
On essaie dans un premier temps de simplifier au maximum les deux membres de cette égalité, afin d’obtenir ensuite une série d’équations qu’on résoudra.

Exemple
Le PFS, principe fondamental de la statique, dit par exemple que la somme des torseurs des actions mécaniques d’un système statique est égale au torseur nul.

Cela donne l’égalité, , qui peut servir de point de départ à la résolution d’un problème de statique. En sommant tous les torseurs du membre de gauche, on pourra obtenir une série d’équations à résoudre.

Voici les étapes à suivre pour résoudre un problème avec les torseurs, en partant d’une égalité entre les torseurs.

Étape 1 - Exprimer tous les torseurs au même point.

On choisit un point. On déplace ensuite tous les torseurs pour qu’ils soient exprimés en ce point grâce à la relation de Varignon.

Étape 2 - Simplifier l’égalité.

On simplifie au maximum les deux membres de l’égalité. Cela revient souvent à additionner tous les torseurs de chaque côté de l’égalité.

Étape 3 - Extraire le système d’équations.

On extrait de l’égalité un système d’équations. On se retrouve avec un système d’au maximum 6 équations : une par composante des torseurs.

Remarque
Plusieurs équations ne sont souvent pas utilisables, ou alors elles s’annulent. On a ainsi seulement 2 ou 3 équations dans le système.
Étape 4 - Résoudre le système d’équations.

On résout les équations afin de déterminer les valeurs de toutes les inconnues.

Étape 5 - Conclure.

On écrit les torseurs en remplaçant les inconnues par leurs valeurs.

b. Exemple de problème
Données du problème

On souhaite résoudre un problème qui implique les trois torseurs suivants.



On connait la plupart de leurs composantes.



Les résultantes  et  comportent des inconnues : ab et c. La résolution du problème consiste à déterminer les valeurs de ces inconnues. Les torseurs de ce problème sont liés par l’égalité :

Remarque
Cette égalité est donnée au point A, mais elle fonctionne par rapport à n’importe quel autre point. Il faut juste que les trois torseurs soient exprimés par rapport au même point pour qu’elle soit valable.

On donne également les valeurs des vecteurs qui relient les points AB et C.

Résolution du problème
Étape 1 – Exprimer tous les torseurs au même point.

On choisit un point parmi les trois qu’on connait (Aet C) pour exprimer les trois torseurs. On choisit ici le point A, mais on pourrait aussi bien résoudre le problème avec les deux autres points.

Écriture du torseur TF en A

Ce torseur est déjà écrit en A, il n’y a donc pas de transformation à faire.
Le torseur TF au point A est 

Écriture du torseur TG en A

Comme on ne connait que l’écriture du torseur en B, on se sert de la relation de Varignon pour déplacer le moment en A.


Le torseur TG au point A est .

Écriture du torseur TH en A

Comme on ne connait que l’écriture du torseur en C, on se sert de la relation de Varignon pour déplacer le moment en A.


Le torseur TH au point A est 

Étape 2  Additionner les torseurs.

L’équation de départ est .

On additionne les trois torseurs à gauche de l’équation.

Étape 3  Extraire le système d’équations.

L’équation de départ, , devient : 

Ce qui donne le système de trois équations suivant.

Étape 4  Résoudre le système d’équations.
  • L’équation (Y) donne immédiatement c = –4
  • L’équation (X) peut s’écrire = –1 – b
  • On injecte la valeur de c et l’expression de a dans (N) :
    5 × (–1 – b) + 4 × (–4) – 2b = 0
    –5 – 5– 16 – 2b = 0
    –7b – 21 = 0
    –7b = 21
    On obtient finalement b = –3.
  • En reprenant l’équation (X), on a = –1 – (–3), soit = 2.
Étape 5 – Conclure.

On remplace ab et c par leurs valeurs, dans les expressions des torseurs.

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