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Résoudre une équation du premier degré à une inconnue

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Objectifs
  • Connaitre les règles de calcul dans une égalité.
  • Résoudre une équation du premier degré.
Points clés
  • On ne change pas une égalité si on additionne (ou soustrait) chacun de ses membres par un même nombre.
  • On ne change pas une égalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre non nul.
  • Une équation est une égalité comportant des nombres inconnus, généralement symbolisés par des lettres.
  • Résoudre une équation revient à chercher toutes les valeurs des inconnues pour que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’équation.
  • Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue , il faut isoler  en appliquant les règles de calcul sur les égalités.
1. Règles de calcul dans une égalité
Rappel
Une égalité est une expression composée de 2 membres séparés par un signe = .
Exemple
 
On ne change pas une égalité si on additionne (ou soustrait) chacun de ses membres par un même nombre.

En écriture mathématique, soient a, b et c, trois nombres quelconques :
si   a = b   alors   a + c = b + c   et   ac = bc.
Exemples
  • Si   4 = x   alors   4 + 5 = x + 5   d'où   9 = x + 5
  • Si   z = 14   alors   z 8 = 14 8 = 6
On ne change pas une égalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre non nul.

En écriture mathématique, soient a, b des nombres quelconques et c un nombre non nul :
si   a = b   alors   a × c = b × c   et  .
Exemples
  • Si   4 =    alors   3 × 4 = 3   d’où   12 = 3 
  • Si   z = 28   alors   =    d’où   = 4
2. Résolution d'une équation du premier degré
a. Définitions
Une équation est une égalité comportant des nombres inconnus, généralement symbolisés par des lettres.
Une équation du premier degré peut se ramener, après transformation, à la forme ax + b = 0, a et b étant des nombres donnés ().
Exemples
  • est une équation du premier degré à une inconnue .
  • est une équation du second degré (car il y a des 2) à une inconnue x.
  • est une équation du premier degré à 2 inconnues  et .
Résoudre une équation revient à chercher toutes les valeurs des inconnues pour que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’équation.
Remarque
Les équations du premier degré n’ont qu’une seule solution ou aucune.
b. Méthode et exemples
Méthode
Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue , il faut isoler  en appliquant les règles de calcul sur les égalités.
Exemple 1 
Résoudre l'équation .
D'après la méthode précédente :
 
La solution de cette équation est : .
Exemple 2
Résoudre l'équation .
 
L'équation a pour unique solution .
Exemple 3
Résoudre l'équation 
 
d'où :
Cette égalité est impossible donc l’équation n’a pas de solution.

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